9-4. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ НАЙКВИСТА

а) Доказательство критерия. Применение годографа для исследования устойчивости

Этот критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по поведению годографа амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы

Передаточная функция замкнутой системы связана с передаточной функцией разомкнутой системы; известным соотношением

Введем в рассмотрение функцию на единицу отличающуюся от . Поскольку

то

Как видно, числитель равный является характеристическим многочленом замкнутой системы, а знаменатель

характеристическим многочленом разомкнутой системы. Степени обоих многочленов одинаковы — раины Для исследования устойчивости подсчитаем полное приращение аргумента функции Очевидно, что

где - полное приращение аргумента полное гприращение аргумента

Если замкнутая система устойчива, то всегда

Разомкнутая система, кроме устойчивых звеньев (инерционных и колебательных), может содержать также звенья интегрирующие и неустойчивые. Интегрирующее звено, как и инерционное, имеет полное приращение аргумента, равное Поэтому при подсчете полного приращения аргумента интегрирующие звенья относятся к устойчивым инерционным звеньям. В разомкнутую систему могут также входить колебательные звенья с затуханием (консервативные звенья). При подсчете приращения аргумента они, как и интегрирующие, относятся к устойчивым звеньям, т. е. к колебательным звеньям с Таким образом, если разомкнутая система, кроме устойчивых интегрирующих и колебательных звеньев с затуханием содержит еще и неустойчивые звенья, то некоторое число нулей будет находиться справа от мнимой оси. Остальные нулей будут располагаться слева от мнимой оси или на самой мнимой оси. В этом общем случае полное приращение аргумента согласно (9-16) будет равно:

Теперь имеется возможность сформулировать критерий устойчивости Найквиста.

Замкнутая система устойчива, если полное приращение аргумента равно где число полюсов передаточной функции разомкнутой системы находящихся справа мнимой оси комплексной плоскости.

В самом деле, нули есть полюсы а поэтому система устойчива, если

Если же то замкнутая система неустойчива.

Для подсчета полного приращения аргумента не нужно строить годограф Подсчет можно осуществить с помощью годографа Для этой цели необходимо из точки — провести вектор к годографу и подсчитать результирующий угол поворота этого вектора при скольжении по годографу от частотной отметки до частотной отметки

Критерий Найквиста для Это — наиболее распространенный случай, когда все нули т. е. полюсы расположены слева от мнимой оси и на мнимой оси. В этих случаях система устойчива при и неустойчива при

Поскольку в устойчивой системе полное приращение равно нулю, то годограф при этом не может охватывать точку Если же годограф охватывает точку — то и замкнутая система неустойчива. Таким образом, если разомкнутая линейная система устойчива или нейтральна то замкнутая система будет устойчива тогда и только тогда, когда амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы не охватывает точку Если годограф пересекает вещественную ось в точке — 1, то замкнутая система находится на границе устойчивости. В этом случае пара нулей расположена как раз на мнимой оси. На рис. 9-4 приведен пример годографа для устойчивой (а) и неустойчивой (б) систем, когда разомкнутая система не содержит интегрирующих звеньев, а состоит только из устойчивых звеньев.

Рис. 9-4. Годографы устойчивой (а) и неустойчивой (б) замкнутой системы, не имеющей интегрирующих звеньев в разомкнутом состоянии.

Интегрирующие звенья дают приращение фазы — где число последовательно соединенных интегрирующих звеньев. В связи с этим для подсчета годограф дополняется дугой окружности бесконечно большого радиуса до вещественной положительной полуоси четном). На рис. 9-5 показаны годографы для устойчивых (б, г, е) и неустойчивых (а, в, д) замкнутых систем при одном интегрирующем звене двух и трех интегрирующих звеньях в разомкнутой системе.

Из рассмотрения рис. 9-4, 9-6 с очевидностью следует, что если система устойчива, то точка всегда находится вне замкнутой области комплексной плоскости между положительной вещественной полуосью и годографом, дополненным до этой полуоси дугой бесконечно большого радиуса. Если точка находится внутри этой области, система неустойчива.

В сложных случаях годограф может иметь весьма замысловатый вид и несколько раз пересекать вещественную отрицательную полуось. При и при устойчивой системе годограф не пересекает вещественную отрицательную полуось пределах от —1 до или пересекает ее четное число раз. Бели число пересечений — нечетное, система неустойчива. При подсчете числа пересечений в системах с двумя и более интегрирующими звеньями в расчет принимается пересечение дугой бесконечно большого радиуса.

Критерий Найквиста для . На практике встречаются случаи, когда объекты регулирования неустойчивы. Так, например,

Рис. 9-5. Годографы устойчивых и неустойчивых систем, содержащих в разомкнутом состоянии интегрирующие звенья. а, б - одно интегрирующее звеио, в, г - два интегрирующих звена, д, е - три интегрирующих звена.

Рис. 9-6. Годографы устойчивой и неустойчивой систем при одном положительном полюсе а - система устойчива. система неустойчива.

двигатель с «отрицательным самовыравниванием», статически неустойчивый (или неустойчивый по перегрузке) (самолет, фигурирующие как звенья контура регулирования, приводят к появлению одного положительного полюса в передаточной функции разомкнутой системы Два положительных полюса например, могут (появиться при неустойчивом внутреннем контуре системы, образованном цепью корректирующей обратной связи.

Заметим, что системы, передаточные функции которых не имеют ни нулей, ни полюсов в правой полуплоскости, носят название минимально-фазовых систем. Если часть нулей или полюсов или того и другого вместе находится в правой полуплоскости, то система является неминимально-фазовой. Системы, содержащие неустойчивые звенья, оказываются, таким образом, неминимально-фазовыми в разомкнутом состоянии.

На рис. 9-6 и 9-7 приведены годографы при одном положительном полюсе Случай, приведенный на рис. 9-6, может встретиться при стабилизации скорости вращения двигателя; случай на рис. 9-7 — при стабилизации угла тангажа статически неустойчивого самолета. Поведение годографов на рис. 9-6,а г 9-7,а указывает, что замкнутая система устойчива, так как результирующий поворот вектора или

Рис. 9-7. Годографы устойчивой и неустойчивой систем при одном положительном полюсе а — система устойчива, система неустойчива,

Рис. 9-8. Годографы устойчивой и неустойчивой (б) систем при двух положительных полюсах.

В неустойчивых случаях (рис. 9-6, б и 9-7, б) .

Рис. 9-9. Структурная схема и годографы двухконтурной следящей системы; б - замкнутая система устойчива; в — замкнутая система неустойчива.

При нечетном нулевая фаза или равна В связи с этим для подсчета годограф дополняется дугой бесконечно большого радиуса до отрицательной вещественной полуоси, где число интегрирующих звеньев разомкнутой системы. Для случая, приведенного на рис. 9-7, годограф дополнен четвертью окружности.

На рис. 9-8 и 9-9 приведены примеры годографов устойчивых и неустойчивых систем при Если замкнутая система устойчива, то т. е. годограф делает один полный оборот против часовой стрелки вокруг точки

На рис. 9-9,а (приведен пример двухконтурной следящей системы. Внутренний контур образуется за счет того, что сигнал от тахогенератора через трехзвенную цепь подается на вход усилителя вместе с сигналом ошибки Внутренний контур при оказывается неустойчивым, в результате чего передаточная функция разомкнутой системы имеет два полюса в правой полуплоскости. Однако замкнутая система всегда может быть сделана устойчивой. Неустойчивость внутреннего контура в этом случае не имеет значения. Она будет проявляться только при размыкании главного контура. На рис. 9,9, б, в приведены годографы, соответствующие устойчивой и неустойчивой замкнутым двухконтурным системам.