в) Интегральная квадратичная оценка импульсной переходной функции и дисперсия реакции системы на белый шум

Корреляционная функция белого шума пропорциональна -функции

где согласно (12-16) равно спектральной плотности белого шума. Вводя для а более удобное обозначение и подставляя, в (12-23), находим:

Белый шум является центрированной случайной функцией, поэтому выходная функция системы также центрирована и средний квадрат совпадает с дисперсией . С другой стороны, согласно основному свойству -функции

Таким образом,

Но

есть не что иное, как интегральная квадратичная оценка импульсной переходной функции системы, поэтому

Эта формула имеет большое значение, так как (см. § 10-6) интегральные квадратичные оценки для стационарных линейных систем с сосредоточенными параметрами

имеют аналитическое выражение через параметры.

Реальные стационарные случайные возмущающие функции, в большинстве случаев отличные от белого шума, приближенно могут быть представлены в виде белого шума, прошедшего некоторые линейные фильтры. Для пояснения этого утверждения обратим внимание на уравнение связывающее корреляционные функции входной и выходной величин линейного фильтра с передаточной функцией

Задача ставится так. Зная реальную корреляционную функцию случайного процесса подобрать передаточную функцию некоторого фиктивного формирующего фильтра, который преобразовал бы белый шум в случайный процесс с корреляционной функцией, приближенно раиной

Согласно (12-22) решение задачи имеет место при

Определение искомой передаточной функции фильтра в виде дробно-рациональной функции возможно различными методами. Часто для этой цели используются спектральные плотности (см. ниже).

После того как передаточная функция формирующего фильтра определена в форме отношения полиномов по можно аналитически найти дисперсию реакции на белый шум системы, состоящей из последовательного соединения рассматриваемой системы и формирующего фильтра. Для этого достаточно применить формулу (12-24) к передаточной функции условия выбора вытекает, что полученная дисперсия приближенно равна дисперсии реакции системы на реальную случайную возмущающую функцию.

Здесь уместно отметить, что преобразование белого шума при прохождении через линейный фильтр используется не только в математическом аппарате исследования, но и в лабораторной практике испытаний систем и моделирования случайных процессов.

Рис. 12-7. Схема генератора белого шума.

Создание генератора шума с заданной корреляционной функцией или заданной спектральной плотностью обычно затруднено. Поэтому выполняют генератор белого шума или «почти белого» шума, добиваясь нужного распределения спектральной плотности сигнала путем под бора дополнительного фильтра.

В частности, в инфразвуков ом диапазоне иногда применяют следующую схему (рис. 12-7).

Проводящий цилиндр 1 частично заполнен металлическими шариками, касающимися центрального электрода 2 и самого цилиндра. Цилиндр вращается с постоянной скоростью. Перекатывание шариков создает случайные изменения контактного сопротивления и общего сопротивления между центральным электродом и цилиндром. Ток в цепи: источник постоянного напряжения — центральный электрод — цилиндр — сопротивление 3, при вращении цилиндра хаотически изменяется. Напряжение на сопротивлении 3 за вычетом постоянной составляющей в инфразвуковом диапазоне близко к белому шуму. Фильтр позволяет преобразовать это напряжение в случайную функцию с желаемым распределением спектральной плотности.

Для иллюстрации метода вычисления дисперсии выходной величины линейной системы рассмотрим конкретный пример.

Пусть на вход колебательного звена с передаточной функцией вида:

воздействует белый шум со спектральной плотностью 50. Требуется определить дисперсию на выходе колебательного звена. В данном случае

и формула (10-94) для интегральной квадратичной оценки импульсной переходной функции принимает вид:

Таким образом, дисперсия выходной величины равна: