14-5. ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА ИЛИ z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО АРГУМЕНТА

а) Определение преобразования

Преобразуем по Лапласу дискретную функцию, представляющую собой последовательность каких-либо импульсов (например, прямоугольных) с амплитудами Хили

Интеграл Лапласа (14-52) равен, очевидно, сумме интегралов (или сумме изображений) каждого импульса, входящего в последовательность. Обозначая найдем изображение импульса в виде Суммируя, получим изображение всей дискретной функции, составленной из импульсов с амплитудами

где

Если т. е. дискретная функция составлена из -импульсов, то и

Как видно, преобразование Лапласа для дискретной функции привело к бесконечной сумме. Бесконечная сумма является функцией комплексного числа и будет обозначаться

Операция суммирования (14-54) носит название прямого дискретного преобразования Лапласа (или -преобразования) для функции времени в функцию комплексного числа Эта операция кратко обозначается

и указывает, что есть изображение (или, короче, Соответственно является оригиналом Дискретная функция как последовательность импульсов может быть подвергнута как обычному, так и дискретному преобразованию Лапласа. Сопоставление (14-53) и (14-54) показывает различие в изображениях дискретной функции, полученных при обычном и дискретном преобразованиях. Как видно, результат Дискретного преобразования равен результату непрерывного преобразования, поделенному на изображение элементарного импульса т. е.

Если импульсы, образующие дискретную функцию, являются импульсными функциями то результаты обоих преобразований одинаковы.

Условие существования дискретного изображения какой-либо функции аналогично

условию существования изображения Лапласа для непрерывных функций, т. е. дискретное изображение существует, если ряд (14-54) сходится. Операция обратного дискретного преобразования Лапласа

означает определение оригинала по заданному изображению. Определение можно производить:

1) по таблицам соответствия оригиналов и изображений;

2) по формулам обращения, требующим интегрирования в комплексной плоскости;

3) путем разложения в ряд по степеням изображения коэффициенты ряда будут представлять собой искомую дискретную последовательность

Первые два способа аналогичны определению оригинала непрерывных функций. Они дают возможность найти аналитическое выражение общего члена последовательности как функции

Очевидность третьего способа вытекает из самого определения прямого преобразования как операции суммирования ряда. Третий способ не имеет аналога в теории преобразования Лапласа для непрерывных функций. Его применение дает непосредственно числовую последовательность из которой, если нужно (и если можно), определяется выражение ее общего члена

Остановимся вкратце на формулах обращения. Формул обращения две, поскольку интегрирование можно производить как в плоскости так и плоскости Первая из них имеет вид:

Число с выбирается так, чтобы все полюсы лежали левее прямой, вдоль которой ведется интегрирование. Можно ввести вместо аргумент тогда соответственно в новом масштабе времени получим:

Рассмотрим теперь переменную Когда т. е. когда аргумент изменяется вдоль прямой параллельно мнимой оси, изменяется вдоль окружности радиуса Преобразование отображает всю полуплоскость расположенную левее прямой с, в круг радиуса Все полюсы находящиеся левее прямой с, преобразуются в полюсы расположенные внутри круга.

Так как

Подставляя значение в (14-55), получим вторую формулу обращения:

Интегрирование ведется вдоль окружности радиуса При этом все полюсы располагаются внутри окружности.

В литературе формулы (14-54) (при и (14-55) носят название дискретного преобразования Лапласа, а пара формул (14-54) и называемого -преобразования. Если отбросить различие в формулах обращения, которые используются мало, то оба преобразования различаются только обозначением аргументав изображениях дискретных функций. В связи с этим и не было сделано различия между дискретным преобразованием Лапласа и -преобразова-нием.

б) Основные свойства преобразования

Основные свойства дискретного преобразования или идентичны, или аналогичны свойствам преобразования Лапласа для непрерывных функций.

Изображение разностей и смещенных функций. Функция смещена в сторону опережения по отношению к функции на один период повторения (рис. 14-14). По определению

В то же время

Сопоставляя (14-58) и (14-59), получим:

точно так же

и вообще

Вычитая (14-59) из (14-60), получим изображение первой разности:

Аналогично получается изображение второй разности:

и разности порядка

Рис. 14-14. Смещенная функция.

Изображение функции, смещенной в сторону запаздывания на периодов. При смещении на периодов повторения в сторону запаздывания вместо функции будем иметь функцию при этом при всех Рассмотрим предварительно смещение функции на один период повторения . В этом случае значение первой ординаты будет равно второй ординаты третье Отсюда по определению изображения будем иметь:

Повторив те же рассуждения при смещений на периодов повторения, получим:

Изображение свертки двух функций. Даны весовая функция и ее изображение

которое является дискретной передаточной функцией системы. Даны функция входного сигнала и соответственно ее изображение Требуется найти изображение выходного сигнала т. е. свертку функций

Изображение реакции на начальный импульс

Изображение реакции на первый импульс

Изображение на импульс

Изображение реакции на всю последовательность

Итак, изображение «выхода» равно произведению изображения «входа» на передаточную функцию. Это равнозначно определению дискретной передаточной функции как отношения изображения выходной величины к изображению входной величины:

Преобразование разностных уравнений. Передаточную функцию системы можно получить не только в результате операции суммирования (14-65), но и из разностного уравнения системы. Для этой цели неоднородное уравнение подвергается преобразованию при нулевых начальных условиях. Возьмем в качестве примера уравнение (14-46). Его преобразование дает:

откуда передаточная функция [см. (14-67)]

Необходимо подчеркнуть, что передаточные функции и изображения, использующие аргумент совершенно одинаковы, так же как в непрерывных системах одинаковы передаточные функции аргумента и аргумента

При решении однородных уравнений должны быть заданы начальные условия 40], 41], 42],

Возьмем для примера опять (14-47), но при и при Используя правило (14-61), находим:

откуда

Оригинал может быть найден разложением дроби (14-69) в ряд по степеням Пусть Разделив числитель на знаменатель [уравнение (14-69)], получим:

Коэффиценты ряда — последовательные значения ординат функции Степень является номером ординаты. На рис. 14-15 приведено при

Рис. 14-15. Решение однородного уравнения

Найдем решение того же уравнения при что соответствует После деления многочленов получим:

График при приведен на рис. 14-16.

Рис. 14-16. Решение однородного уравнения —

Теоремы о предельных значениях

1. Конечное значение дискретной функции (см. [14-1])

2. Начальное значение дискретной функции

Таблицы соответствия. Теорема разложения. Найдем дискретные передаточные функции некоторых элементарных звеньев.

1. Звено первого порядка:

Суммирование произведено по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Инерционное звено в форме приводит к:

где

Интегрирующее звено:

2. Двойное интегрирующее звено:

суммирование ряда дает

В табл. 14-2 приведены функции времени дискретные функции образованные из и соответственно изображения Если импульсная реакция непрерывной системы, то являются передаточными функциями.

По таблице соответствия можно находить оригиналы по известным изображениям Обычно представляет собой дробно-рациональную функцию. Для использования таблицы соответствия дробно-рациональную функцию представляют в виде суммы простых дробей:

где I — число простых полюсов или нулей и

Пример 1. Определить оригинал изображения (14-69) при

Корни характеристического уравнения равны: После разложения на элементарные дроби

Искомый оригинал

или в числах

Пример 2. Найти переходную функцию звена Изображение равно Следовательно, изображение переходной функции будет:

Разложение на элементарные дроби дает:

откуда