б) Точность при медленно меняющихся воздействиях. Коэффициенты ошибок. Астатические системы высших порядков

Как уже указывалось, исследование точности при медленно меняющихся воздействиях производится для вынужденного режима, который наступает после затухания переходной составляющей. Значение установившейся ошибки находят из частного решения дифференциальных уравнений или из составляющей оригинала, определяемой полюсами или [см. (9-3) и (2-26)]. Так, например, если у следящей системы (рис. 7-41) взять что означает вращение входной оси с постоянной угловой скоростью то установившаяся ошибка слежения будет равна

причем

Можно также из дифференциального уравнения для ошибки при заданном найти частное решение Существует, однако, общий прием вычисления ее или основанный на разложении в ряд по степеням D символических передаточных функций.

Рассмотрим вычисление ошибки ее воспроизведения входного сигнала По определению

где передаточная функция ошибки.

Представим в виде ряда по степеням

где коэффициенты ряда

носят название кэффициентов ошибок.

Укажем на способы вычисления коэффициентов ошибок. Передаточная функция дробно-рациональная функция:

Напомним, что - характеристический полином уравнения разомкнутой системы, характеристический полином уравнения замкнутой системы. Бесконечный ряд может быть получен делением многочлена на многочлен Процесс деления оканчивается в зависимости от потребного числа членов ряда.

Из выражения можно образовать также тождество

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получаем цепочку уравнений для последовательного вычисления коэффициентов ошибок

Решая (10-11), находим

Используя ряд (10-9), можно получить выражение для ошибки

как сумму ряда, составленного из производных входной величины.

Для следящих систем, как систем, содержащих минимум одно интегрирующее звено, так как в этом случае следящей системы с одним интегрирующим эвеном всегда причем и такая система называется астатической системой первого порядка. Если следящая система содержит в разомкнутой цепи два интегрирующих звена, то причем . В этом случае коэффициенты со и полинома равны нулю и, следовательно, не только но и Такая система с двумя интегрирующими звеньями называется астатической системой второго порядка. Поскольку у системы то линейная функция будет воспроизводиться такой системой без всякой ошибки Соответственно астатическая система третьего порядка содержит три интегрирующих звена и будет воспроизводить без искажений квадратичную функцию времени

Для астатической системы первого порядка при

Из этих выражений для коэффициентов ошибок видно, что коэффициент усиления К оказывает решающее влияние на точностьсистемы. Для следящих систем автосопровождения, когда К лежит в пределах от при постоянной угловой скорости 20 град/сек получается ошибка до 2,4 угловых минут соответственно.

Астатические системы высших порядков, содержащие число интегрирующих звеньев более одного в одноконтурной цепи, неустойчивы без корректирующих цепей, когда Корректирующие цепи приводят к появлению полинома в «числителе передаточной функции Для выполнения необходимого условия устойчивости степень полинома [числителя системы с интегрирующими звеньями должна быть не менее Учитывая закон образования коэффициентов передаточных функций замкнутой системы, получим, что простейшие передаточные функции астатических систем, которые могут быть выполнены устойчивыми, должны иметь следующий вид:

при

при

Во всех этих случаях -коэффициенту усиления разомкнутой системы. Размерность К при при и при

С помощью ряда (10-10) можно также вычислить ошибку воспроизведения входного синусоидального сигнала, которая также будет величиной синусоидальной. Пусть тогда искомая ошибка равна:

Амплитудное значение ошибки

фаза ошибки

Бесконечный ряд (10-13) (сходится тем быстрее, чем меньше со, т. е. чем медленнее меняется входной сигнал, тем меньше первых членов ряда нужно брать для вычисления ошибки. Этот же вывод справедлив и для более общего ряда (1040), Заметим, что амплитуда и фаза ошибки — это не амплитудные и фазовые искажения, связанные с полосой пропускания. Можно и для вычисления этих величин воспользоваться разложением в ряд передаточной функции. Однако для этой цели следует взять основную передаточную функцию

Определение порядка астатизма, связанное с числом нулевых коэффициентов ошибок, справедливо и для случая действия возмущений в каких-либо точках структурной схемы. Структурная схема в этом случае приводится к изображенному на рис. Коэффициентами ошибок при этом являются коэффициенты ряда передаточной функции Порядок астатизма или число нулевых коэффициентов ошибок определяется кратностью нулевого полюса или числом последовательных интегрирующих звеньев в цепи обратной связи системы рис. То же самое имеет место и при действии управляющего сигнала когда структурная схема приводился к виду рис. -довательно, порядок астатизма равен также кратности нулевого полюса передаточной функции обратной связи