в) Свойства корреляционной функции

Согласно общему соотношению для стационарного процесса получаем:

т. е. корреляционная функция стационарного случайного процесса есть четная функция х.

Рассматривая два сечения случайной центрированной функции записываем тождество

Применяя к этому неравенству операцию математического ожидания, находим:

Для стационарной случайной функций

откуда

т. е. значение корреляционной функции стационарного процесса не превосходит дисперсии этого процесса.

Помимо этих свойств корреляционной функции, важно выражение корреляционной функции суммы центрированных случайных функций. Если

то

Применяя операцию математического ожидания к обеим частям последнего равенства, получаем:

где

— взаимные корреляционные функции. Всего таких функций . Кроме того, в правую часть входят автокорреляционные функции таких функций

Если все случайные функции стационарны, формула (12-5) принимает вид:

Если случайные функции независимы и центрированы, то все взаимные корреляционные функции равны нулю и

Рис. 12-3. Реализации случайных функций. а — при быстром убывании корреляционной функции; б - при относительно пологой корреляционной функции.

В частности, дисперсия суммы случайных независимых функций равна сумме дисперсий этих функций

Как уже указывалось, корреляционная функция играет важную роль в теории случайных процессов, и желательно показать физический смысл этой функции для некоторых конкретных примеров.

Корреляционная функция характеризует статистическую связь последующих и предыдущих значений случайной функции. Чем быстрее убывает корреляционная функция при возрастании тем быстрее изменяется случайная функция, тем слабее связь между последующими и предыдущими значениями этой функции. Напротив, если значения корреляционной функции убывают с возрастанием медленно, то последующие и предыдущие значения случайной функции имеют сильную связь, реализации случайной функции изменяются относительно медленно. На рис. 12-3,а приведен пример случайной функции, соответствующий быстрому убыванию Кривая корреляционной функции имеет здесь острый пик в начале координат.

Если ширина пика корреляционной функции бесконечно мала, то мы имеем процесс, называемый белым шумом. Таким образом, белым шумом называется случайный процесс, корреляционная функция которого равна (или пропорциональна) -функцци,

где

Белый шум — Это «чисто» случайный процесс, в нем отсутствует какая-либо связь между предыдущими и последующими значениями случайной функции.

Белый шум в строгом математическом понятии этого термина физически неосуществим, так как он имеет бесконечную мощность (см. ниже). Однако имеется большое число физических процессов, которые весьма близки к белому шуму не только в масштабах быстродействия систем регулирования, но и в масштабах быстродействия наиболее широкополосных электронных усилителей.

Классическим примером случайного процесса, весьма близкого к белому шуму, является тепловой шум металлического сопротивления. Корреляционная функция теплового шума весьма близка к -функции, а именно, можно показать, что ширина пика корреляционной функции теплового шума выражается формулой

где -постоянная Планка; постоянная Больцмана; абсолютная температура сопротивления.

При сек, т. е. весьма малая величина.

На рис. 12-3, б представлены реализации случайного процесса, изменяющиеся во времени относительно медленно. Кривая корреляционной функции здесь относительно полога.

Определение корреляционной функции по записям реализаций случайного процесса осуществляется либо численно, либо с помощью специальных устройств — корреляторов. Для рассмотрения этих

способов, а также для дальнейшего рассмотрения вопросов статистической динамики необходимо ввести понятие эргодичности случайного процесса.