е) Вибрационная линеаризация релейных систем, Реакция релейных систем на медленно меняющиеся возмущения

Наличие, в релейной системе колебаний, спектр частот которых значительно выше спектра управляющих и возмущающих воздействий, приводит к эффекту вибрационной линеаризации Это означает, что реакция (на воздействия в релейной системе оказывается близкой к реакции линейных систем.

Точно так же переходные про: цессы при ограниченных начальных отклонениях оказываются близкими к переходным процессам в линейных системах.

Высокочастотными колебаниями в релейной системе могут быть или вынужденные колебания, или автоколебания. При этом высокочастотные автоколебания можно обеспечить выбором структуры и параметров линейной части системы. Выделим случай, когда релейный элемент охватывается запаздывающей обратной связью (обычно с помощью инерционного эвена). В результате получаем три способа вибрационной линеаризации, которые и рассмотрим.

а) Вибрационная линеаризация вынужденными колебаниями. Пусть на вход релейного элемента (воздействуют медленно меняющаяся функция и высокочастотные колебания Если учесть, что передаточную функцию линейной части всегда (можно представить в ввде элементарных передаточных функций первого по рядка, то уравнения системы регулирования можно записать в следующей форме:

где

— сигнал ошибки на входе релейного элемента; - величина на выходе линейной части; релейная характеристика, любая из приведенных в табл. 16-2.

Пусть при система уравнений (17-135) имеет периодическое решение Если медленно меняющаяся функция, интеграл системы (17-135), начиная с некоторого момента и до можно представить в

функция, близкая к периодической медленно меняющаяся частота, близкая к усредненное значение за промежуток

На рис. 17-67 показан график упомянутых величин.

Физический смысл выражения 17-136) заключается в том, что воздействие деформирует частоту и форму кривой высокочастотных колебаний, в результате чего в колебаниях проявляется медленно меняющаяся величина

Рис. 17-67. Переходные процессы при вибрационной линеаризации вынужденными колебаниями.

При указанных условиях величину можно приближенно определить как среднее за период значение

Чем выше частота, чем точнее будет это определение. Таким же образом можно определить производные т. е.

Теперь имеется возможность записать систему уравнений относительно средних значений:

где

а — медленно меняющаяся составляющая сигнала ошибки;

Линейная часть систем автоматического регулирования, как правило, является фильтром низких частот, и частоту линеаризирующих колебаний можно выбрать всегда достаточно высокой так, чтобы

Это означает, что колебания выходной величины х около среднего значения х практически не оказывают влияния на работу релейного элемента. Для колебаний с частотой

система оказывается разомкнутой и переключения релейного элемента происходят от суммарного действия сигналов и среднего значения х, равного или от действия сигналов и Отсюда следует, что функцию можно вычислить на основе выражения

Функция зависит от характеристики релейного элемента (функции ), от формы кривой колебаний и не зависит от свойств линейной части системы. Таким образом, задача извелась к (вибрационной линеаризации изолированного релейного элемента. Эта задача была рассмотрена в § 4-5. В результате вибрационной линеаризации релейная характеристика для медленно меняющихся процессов превращается в линейную с ограничением (рис. 4-39). В зоне пропорциональности линеаризованной характеристики процессы для средних значений описываются системой линейных уравнений.

б) Вибрационная линеаризация за счет запаздывающей обратной связи вокруг релейного элемента. Пусть в цепи обратной связи вокруг релейного элемента находится инерционное звено с постоянной времени Т и коэффициентом усиления (рис. 17-68). В контуре, состоящем из релейного элемента (2) (табл. 16-2) и инерционного звена, возникают автоколебания, которые иногда называют релаксационными, а сам контур — релаксационным генератором.

Рис. 17-68. Структурная схема релейной системы при линеаризации за счет запаздывающей обратной связи.

Частоту автоколебаний контура выбирают достаточно высокой, т. е. такой, чтобы в выходном сигнале х и ошибке колебательной составляющей можно было пренебречь и для колебаний релаксационного генератора основной контур можно было считать разомкнутым. Возникает задача определения передающих авойст» релаксационного контура для медленно меняющегося сигнала ошибки Запишем уравнения контура в соответствии с обозначениями на рис. 17-68:

Высокочастотные колебания в контуре дают основание записать систему уравнений для средних значений:

Среднее значение выходного сигнала контура у можно считать только функцией входного сигнала т. е. поскольку при заданных параметрах контура и релейного элемента и также будет функцией другой стороны, для релейных элементов (1) и (2) (табл. 16-2) среднее значение выходного сигнала контура всегда равно:

где длительность положительного импульса; длитель ность отрицательного импульса.

Величины а следовательно, и период автоколебаний являются функциями входного сигнала

Ввиду высокой частоты автоколебаний можно считать входной сигнал контура в постоянным за период Вид колебаний

величины и в контуре показан на рис. 17-69. При в контуре имеют место симметричные автоколебания период которых определяется из уравнения периодов (17-115). Для данного случая это уравнение имеет вид:

откуда

При автоколебания теряют симметрию. Знак в определяет соотношение а следовательно, и знак у. Для определения найдем законы изменения и в интервалах В обоих случаях это будут отрезки экспонент (рис. 17-69). Поэтому для промежутка

а для промежутка

Полупериод заканчивается, и переключение происходит, когда достигает значения . Полупериод заканчивается, и происходит переключение при равном Из этих соображений запишем уравнениядля определения

Рис. 17-69. Переходные процессы в релейной системе при линеаризации запаздывающей обратной связью.

Определив найдемг:

Графики функций для. различных значений а, построенные по (17-142), приведены на рис. 17-70. При когда релейный элемент (2) превращается в релейный элемент (1), частота автоколебаний становится бесконечно большой, диапазоне превращается в линейную функцию с коэффициентом усиления т. е.

Если то, ограничиваясь вторым приближением

Рис. 17-70. Зависимость среднего значения выходного сигнала от входного при различных характеристиках реле.

равным найдем, что в этом случае также

Из этого вытекает, что коэффициент усиления

при любых а.

Теперь найдем для релейной характеристики (4) и предельным переходом — для характеристики (3), табл. 16-2.

Релейная характеристика (4) неоднозначна и имеет зону нечувствительности, поэтому автоколебаний в жонтуре не будет, если , а автоколебания возникнут, если

При этом в отличие от предыдущего случая выходная величина контура будет представлять собой серию импульсов одной полярности длительностью разделенных паузами Как так и аналогично предыдущему - функции входного сигнала Чем больше тем больше и меньше . В результате этого среднее значение выходного сигнала контура

будет возрастать с ростом

Для определения автоколебаний необходимо найти установившуюся реакцию инерционного звена на последовательность прямоугольных импульсов одной полярности длительности с паузами Эта установившаяся реакция состоит из двух отрезков экспонент: для импульса и паузы (рис. 17-71).

Рис. 17-71. Реакция инерционного звена на последовательность прямоугольных импульсов.

Функции определяются по формулам, крторые можно, например, найти в [Л. 17-7]:

Входная величина релейного элемента во время импульса равна а во время паузы . Когда спадает до значения а, происходит отключение, а когда нарастает до происходит включение. Из этих рассуждений получаем два уравнения для определения

где

и

Решение полученных уравнений для дает:

Из выражения для определяется пороговое значение равное при котором возбуждаются автоколебания. Как видно, при . С увеличением длительность импульса возрастает и при становится равной бесконечности, что означает прекращение автоколебаний и постоянное замыкание реле. Среднее значение у или функции определяется выражением

Найденная функция близка к линейной в диапазоне для положительных а для отрицательных — соответственно

В предельном случае, при когда релейная характеристика (4) переходит в релейную характеристику (3), для получаем выражение

Графики функций построенные по формулам и (17-144), приведены на рис. 17-72.

Функции приведенные на рис. 17-70 и 17-721, являются статистическими характеристиками релаксационных контуров; они справедливы для различных постоянных значений

Найдем передаточную функцию релаксационных контуров, справедливую для динамического режима, когда ограничившись при этом предельными релейными характеристиками (табл. (16.12). В предельных случаях, когда , а частота колебаний стремится к бесконечности, входной сигнал релейного элемента также стремится к нулю. Следовательно, в предельном случае и из последнего уравнения (17-140) находим:

Рис. 17-72. Графики среднего значения выходного сигнала релаксационного контура.

Рис. 17-73. Структурная схема релаксационного контура в предельном случае

Как видно, в предельном случае передаточная функция релаксационного контура представляет собой передаточную функцию идеального форсирующего звена первого порядка

Заметим, что такую же передаточную функцию имеет усилитель с бесконечно большим коэффициентом усиления, имеющий в цепи отрицательной обратной связи инерционное звено (рис. 17-73). В предельном случае вибрирующий релейный усилитель действительно имеет коэффициент усиления, (равный бесконечности, поскольку

Форсирующие свойства «релейного усилителя с обратной связью (релаксационного контура) сопровождаются, как это обычно бывает в реальных условиях, запаздыванием преобразования входного сигнала Запаздывание определяется временем срабатывания и отпускания реле, а также величиной «гистерезиса» а.

При синусоидальном сигнале время срабатывания и отпускания реле привадит к сдвигу фазы выходного сигнала у относительно входного пропорциональному частоте, а «гистерезис» а дает одинаковый сдвиг фазы при любых частотах. Форсирующие свойства контура имеют существенное значение, если выбирать большие Чтобы при этом не получить слишком низкую частоту автоколебаний, необходимо иметь релейный усилитель с высокими динамическими свойствами — малым «гистерезисом» а и малыми величинами

времен срабатывания и отпускания реле.

в) Возбуждение высокочастотных колебаний и вибрационная линеаризация за счет выбора структуры и параметров линейной части системы. Поел едав и параллельные корректирующие цепи, как правило, приводят к повышению частота автоколебаний релейной системы, При наличии корректирующих цепей среди параллельных элементарных звеньев образующих передаточную функцию всей линейной части можно выделить группу звеньев, оказывающих определяющее влияние на частоту автоколебаний. Пусть поэтому причем частота автоколебаний определяется группой звеньев Звенья не оказывают существенного влияния на частоту автоколебаний. В этом случае можно считать, что группа звеньев с передаточной функцией образует обратную связь вокруг релейного элемента и расчет реакции на медленно меняющиеся воздействия сводится к предыдущему случаю. В предельном случае, при бесконечно большой частоте вибраций релейного элемента, передаточная функция замкнутого контура будет иметь вид:

Полученная формула позволяет определять реакцию релейной системы на медленно меняющиеся воздействия, а также вычислять переходные процессы, возникающие, например, при ступенчатом воздействии или при нулевых начальных условиях. Переходный процесс будет описываться линейными уравнениями и протекать в скользящем режиме.

Специальным исследованием устанавливается область «начальных отклонений или величина ступенчатого воздействующего сигнала, при которых переходный процесс сразу начнет протекать как скользящий. В предыдущих случаях, когда релейный усилитель охватывался обратной связью с инерционным звеном, величина ступенчатого сигнала гори которой переходный процесс был бы скользящим, должна быть меньше величины усиления релейного элемента.

Пример. Релейно-контактная следящая система с тахогенератором. Уравнение системы

На рис. 17-74,а приведена структурная схема следящей системы. На ряс. показана преобразованная схема, эквивалентная исходной. В этой схеме выделены передаточные функции рис. 17-74,в приводится предельная структурная схема, при которой частота автоколебаний во внутреннем контуре равна бесконечности. Из этой схемы следует, что в предельном случае

т. е. что поведение системы описывается динамическими свойствами инерционного звена. Это обстоятельство, впрочем, непосредственно вытекает и из уравнения системы, поскольку в скользящем режиме или в режиме вибрационной линеаризации аргумент релейной функции равен нулю. Необходимо подчеркнуть одно очень важное обстоятельство: в предельном режиме передающие свойства следящей системы инвариантны к флюктуациям параметров объекта: моменту инерции и трению А. В непредельном режиме, когда автоколебания имеют высокую, но конечную частоту,

Рис. 17-74. Структурные схемы следящей системы. а — исходная; б - преобразованная; в — предельная.

систама в значительной степени инвариантна по отношению к флюктуациям при воспроизведении сигнала Как видно из схемы рис. 17-74,б, флюктуации параметров будут сказываться главным образом на частоте автоколебаний внутреннего контура.