б) Передаточные функции последовательных соединений элементов
В § 2-9 элементы систем автоматического управления рассматривались как устройства однонаправленного действия, и на этой основе были сформулированы правила получения передаточных функций соединений элементов.
Проведенное в § 2-9 и последующих главах детальное рассмотрение элементов как четырехполюсников дает более полное описание их передаточных свойств и показывает, что далеко не все элементы можно рассматривать как устройства однонаправленного действия. В связи с этим приведенные в гл. 2 правила получения передаточных функций нуждаются в конкретизации и уточнении.
Рассмотрим последовательное соединение линейных четырехполюсников неоднонаправленного действия с передаточными уравнениями:
Каждый четырехполюсник характеризуется матрицей четырех частных передаточных функций (рис. 8-2):
Для определения уравнений, связывающих входные 
и выходные 
величины всей цепочки четырехполюсников, необходимо исключить промежуточные переменные 
и т. д.
Рис. 8-2. К выражению матрицы соединения четырехполюсников через матрицы частных передаточных функций.
В частности, для двух первых четырехполюсников получаем:
матрица
называется произведением матриц 
. Элемент, стоящий в 
строке и 
столбце этой матрицы, равен сумме произведений элементов 
строки первой матрицы на элементы 
столбца второй матрицы.
Аналогично матрица соединения трех первых четырехполюсников будет равна;
т. е. произведению матриц этих четырехполюсников.
Продолжая процесс исключения промежуточных переменных, получаем, что матрица передаточных функций последовательного соединения четырехполюсников равна произведению матриц всех соединенных последовательно четырехполюсников
Заметим, что для последовательного соединения элементов однонаправленного действия согласно гл. 2 передаточная функция просто равна произведению передаточных функций каждого таз элементов
Таким образом, обычное правило перемножения передаточных функций последовательно соединенных элементов однонаправленного действия для четырехполюсников неоднонаправленного действия заменяется правилом перемножения матриц. Можно, однако, ввести понятие изменённых передаточных функций элементов, при котором сохраняет силу формулировка правила простого перемножения передаточных функций.
Действительно, собственной передаточной функцией элемента называется оператор, который связывает выходную и входную величины при холостом ходе, т. е. при отсутствии нагрузки на выходе элемента.
Собственная передаточная функция напряжений (сил) четырехполюсника
получается при 
и равна:
С другой стороны, передаточная функция напряжений четырехполюсника, нагруженного на сопротивление 
согласно (2-90) равна:
где 
Внутреннее сопротивление четырехполюсника со стороны выхода. Эту передаточную функцию будем называть измененной передаточной функцией четырехполюсника.
Сопротивлением нагрузки 
первого четырехполюсника
рассматриваемой цепочки (рис. 8-2) служит входное сопротивление второго четырехполюсника, определенное с учетом влияния всех последующих элементов неоднонаправленного действия.
Аналогично сопротивлением нагрузки второго четырехполюсника 
служит входное сопротивление третьего четырехполюсника с учетом влияния последующих. Следовательно,
откуда
Здесь 
собственные передаточные функции элементов, т. е. передаточные функции при холостом ходе; 
внутренние сопротивления элементов со стороны выхода, определенные с учетом влияния предшествующих элементов; 
входные сопротивления следующих элементов, определенные с учетом влияния остальной части цепочки.
Таким образом, передаточная функция последовательного соединения элементов неоднонаправленного действия равна произведению измененных передаточных функций этих элементов.
Интересно, что если выполняются условия согласования вида:
то
и передаточная функция последовательного соединения четырехполюсников при условиях согласования сопротивлений (8-26) совпадает с точностью до множителя 1/2 с произведением собственных передаточных функций.
