11-5. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ И ИМПУЛЬСНОЙ РЕАКЦИИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ

Определение точных значений из решения дифференциальных уравнений возможно в редких случаях, относящихся в основном к уравнениям первого и второго порядков. В связи с этим представляет интерес определение приближенных значений

Как и в стационарных системах, частотную характеристику определим из частного решения уравнения системы

при воздействии Искать решение (11-44) будем в соответствии с этим в форме Подставляя значения в (11-44), Получаем:

Рассмотрим операции в правой и левой частях. Очевидно, что операция в правой части дает:

Для осуществления операции в левой части представим D в виде суммы Нацомним, что осуществляет операцию над функцией времени, т. е. над над параметром Таким образом, операция в левой части дает:

После осуществления операций и сокращения на из (11-44) получаем:

Представим, далее, левую часть (11-46) в виде ряда по степеням осуществляя одновременно дифференцирование по параметру

где степень символа D оператора

Ряд разложения по степеням D обрывается на члене, поэтому выражение (11-47) представляет не что иное, как дифференциальное уравнение для определения того же порядка, что и исходное дифференциальное уравнение (11-44),

где

Если зафиксировать коэффициенты уравнений, то все производные обратятся в нуль, и из (11-48) получим первое приближение для частотной характеристики в виде:

Можно уточнить первое приближение, вычислив первую поправку Для этого подставим в (11-48) вместо истинного значения ее первое приближение

Тогда получим:

Подставляя в уравнение (11-48) второе приближение аналогично определим вторую поправку

Поступая аналогично, получаем рекуррентное соотношение для вычисления —1-й поправки

а само значение частотной характеристики в виде ряда

Чем медленнее изменяются коэффициенты уравнения, тем быстрее сходится ряд (11-50) и тем ближе истинное значение к ее первому приближению

Аналогичным образом в виде ряда можно представить и импульсную переходную функцию или в более общем виде решение уравнения (11-1) при воздействии.

Итак, пусть имеется уравнение

Перепишем его в следующей тождественной форме:

где многочлен с зафиксированными в момент времени коэффициентами. Первое приближение для х, равное получим, зафиксировав коэффициенты многочлена Тогда

Решение можно получить обычными приемами, например, используя «преобразование Лапласа. Для получения второго приближения правую часть вместо х подставим известное теперь значение левой части положим где -приближенное значение поправки, а искомое второе приближение. Тогда получим уравнение с фиксированными коэффициентами для определения

Поступая аналогично, получим рекуррентное соотношение для вычисления поправки через поправку

где

Истинное значение получается - в виде ряда

Имеются доказательства сходимости рядов (11-50) и (11-53). Ряд (11-53), как и ряд (11-50), сходится тем быстрее, чём медленнее меняются коэффициенты уравнения.