ГЛАВА ВТОРАЯ. ОБЩИЕ ПЕРЕДАТОЧНЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

2-1. УРАВНЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ. СТАТИЧЕСКИЕ И ДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЭЛЕМЕНТОВ

Любой элемент автоматической системы предназначен для измерения, усиления или какого-либо другого преобразования сигналов. В связи с этим для любого элемен-. та характерной является связь между его входным и выходным сигналами или между его входной и выходной величинами. Эта связь может быть описана дифференциальным уравнением. Дифференциальное уравнение - (математическое выражение физических процессов в элементе. Как характеристика связи между входной и выходной величинами элемента оно математически выражает процессы формирования выходного сигнала элемента при возбуждении его входным сигналом.

Для механических, гидравлических и пневматических устройств дифференциальные уравнения выражают движения масс, течение жидкостей, газов. Для электрических элементов дифференциальные уравнения - это уравнения электрических цепей и электромагнитных процессов. Наконец, для электромеханических устройств или элементов дифференциальные уравнения выражают одновременно и механические движения и электрические процессы.

При составлении уравнений неизбежна идеализация изучаемых процессов. Идеализированная картина учитывает только основные и существенные явления и связи в устройстве или элементе. Несущественные явления и связи отбрасываются. Искусство и опыт инженера при составлении уравнений как раз и проявляются в искусстве правильной идеализации.

На нескольких примерах покажем порядок составления уравнения элементов. При анализе уравнений введем понятие о статических и динамических свойствах передающих элементов.

а) Электромашинный усилитель

Простейший электромашинный усилитель представляет собой генератор постоянного тока независимого возбуждения (рис. 2-1,а). Якорь генератора-усилителя вращается специальным двигателем постоянной скоростью Входной величиной служит напряжение подаваемое (на обмотку возбуждения. Выходной величиной — напряжение на щетках генератора. Электромашинный усилитель является усилителем мощности, поскольку мощность входного сигнала, теряемая в обмотке возбуждения, в несколько десятков раз меньше мощности выходного сигнала, выделяемой в сопротивлении нагрузки Рассмотрим связь между входным и выходным сигналами при холостом ходе, когда Напряжение пропорционально потоку возбуждения и скорости вращения:

Рис. 2-1. Схема и характеристики электромашинного усилителя.

где с — коэффициент пропорциональности, определяемый свойствами генератора. Поток связан с током возбуждения кривой намагничивания машины (рис. 2-1,б)

Так как ток пропорционален а напряжение пропорционально потоку то функциональная зависимость представляет собой кривую намагничивания, построенную в других масштабах (рис. 2-1,в).

Теперь нужно выяснить, в каких случаях справедлива найденная функциональная зависимость

Если вспомнить, как ставится эксперимент по определению или то станет ясно, в каких случаях найденная связь между величинами справедлива. На обмотку возбуждения подается серия постоянных, т. е. неизменных во времени значений и при каждом значении измеряется также постоянное значение Поскольку измеряются постоянные, неизменные во времени значения то измерения происходят всегда после того, как в усилителе закончатся процессы установления тока и магнитного потока соответствующих каждому новому значению Таким образом, измерение происходит тогда, когда величины и все остальные переменные (координаты), характеризующие процессы в системе, постоянны. Такой режим называется установившимся или статическим и соответственно сама зависимость является статической и носит название статической характеристики. Напротив, режим работы усилителя (или любого другого элемента), когда изменяется, т. е. называется динамическим режимом. В общем случае найденная статическая зависимость несправедлива и неприменима для динамических режимов. Ток и магнитный поток всегда будут отставать запаздывать) по отношению к меняющемуся входному сигналу следовательно, для мгновенных значений статическая зависимость выполняться не будет. В частном случае, когда сигнал будет изменяться медленно, статическая зависимость будет приближенно справедливой.

В любой момент времени напряжение равно сумме падения напряжения на сопротивлении и противо-е. д. с. самоиндукции

Три уравнения и с тремя неизвестными позволяют исследовать не только статический, но и динамический режим работы усилителя. Эти уравнения можно свести к одному нелинейному дифференциальному уравнению первого порядка для выходного сигнала Однако кривую намагничивания усилителя на рабочем участке достаточно точно можно аппроксимировать прямой. Заменить кривую намагничивания прямой можно, разложив функцию в степенной ряд и ограничившись линейным или первым, приближением этого ряда

где

и нелинейный остаток ряда, члены которого содержат аргумент во второй степени и старше.

Ограничиваясь линейным представлением кривой намагничивания, получим:

Исключая из уравнения (2-1), (2-4) и (2-5) величины получим линейное уравнение усилителя следующем виде:

где постоянная времени усилителя Т и коэффициент усиления усилителя равны:

Коэффициент усиления численно равен тангенсу угла наклона касательной статической характеристики

при

Уравнение справедливо как для динамических, так и для статических режимов. Когда и их не изменяются, и уравнение вырождается в статическую зависимость

справедливую при линейном представлении кривой намагничивания. Если то изменяется «во времени, и статическая зависимость перестает быть справедливой. Уравнение можно представить в виде:

Выражение можно прочитать так: статическая зависимость выполняется. с динамической ошибкой Динамическая ошибка пропорциональна постоянной времени Т и скорости изменения выходной величины. Для вычисления динамической ошибки нужно решить уравнение задавшись законом изменения Кроме уравнения статической характеристики и коэффициента усиления, передающие свойства усилителя определяются максимальной выходной мощностью усилителя, входной мощностью, коэффициентами усиления по мощности, по току. Все эти понятия будут раскрыты ниже в следующих параграфах, а также при рассмотрении конкретных элементов.