б) Исследование автоколебаний при помощи гармонической линеаризации

Для исследований разработано несколько способов. Рассмотрим способ, который пригоден для однозначной симметричной характеристики.

Уравнения системы с одним нелинейным; элементом всегда можно записать в следующей форме (рис. 16-9):

где передаточная функция линейной части,

функция нелинейного элемента.

Ищем периодическое решение уравнений в форме подвергнув второе нелинейное уравнение (17-95) гармонической линеаризации, которая дает: А

Подставляя в первое уравнение (17-95) и учитывая (17-96) получаем:

где

Если исходные дифференциальные уравнения (17-95) имеют периодическое решение (автоколебания) и нам известно его точное значение, то подстановка Этого решения в (17-95) обратит их в тождества. Разыскивая решение в форме и подставляя его в (17-95), мы не можем рассчитывать, что эти уравнения обратятся в тождества. Предприняв гармоническую линеаризацию нелинейности и полагая .мы будем, однако, считать, получений результат

(17-97) тождеством, из которого найдём неизвестные частоты и амплитуды А автоколебаний. Итак, полагая (17-97) тождеством, имеем:

Тождество возможно, если фициенты при порозць равны нулю, т. е.

Уравнения (17-98) и (17-99) позволяют определить неизвестные, частоты и неизвестные амплитуды А автоколебаний, поскольку

Исключив из (17-98) и (17-99) получим уравнение для определения частот автоколебаний:

Определив корни уравнения (17-100), найдем все возможные частоты автоколебаний. Отсутствие вещественных щрней будет указывать на отсутствие автоколебаний и на устойчивость системы. Уравнение (17-100) показывает, что вид однозначной симметричной характеристики нелинейного элемента не имеет никакого отношения к частоте возможных автоколебаний системы. Частоты автоколебаний определяются только свойствами линейной части.

Этот вывод получается и при точном решении задачи ] для некоторых видов нелинейный элементов с симметричными однозначными характеристиками.

Если найденное из (17-100) значение частоты подставить в (17-98) или (17-99), то получим уравнение для определения амплитуды автоколебаний:

где

Последнее уравнение решается графически» На графике проводится прямая

Рис. 17-39. Графическое определение амплитуды автоколебаний.

Точки пересечения этой прямой с дадут искомые амплитуды автоколебаний. На рис. 17-39 приведена для релейной характеристики с зоной нечувствительности и графическое решение уравнения Приведены случаи, когда прямая пересекает и когд прямая не пересекает . В первом случае в системе возможны два автоколебательных режима с амплитудами поскольку прямая пересекает кривую в двух точках. Во втором случае, когда прямая не пересекает автоколебаний нет и система устойчива. При исследовании нелинейной системы существенно различать два понятия: устойчивости нелинейной системы и устойчивости автоколебаний нелинейной системы. Под устойчивостью понимают отсутствие автоколебаний и асимптотическую устойчивость невозмущенного режима или равновесного состояния. Устойчивость автоколебаний называют также устойчивостью периодического решения уравнений системы. Периодическое решение (или решения) устойчиво, если возникшие по какой-либо причине отклонения в частоте и амплитуде с Течением времени стремятся к нулю, в результате чего восстанавливается исходный автоколебательный режим. Если возникшие отклонения в амплитуде и частоте нарастают, то периодическое решение неустойчиво и исходный

автоколебательный режим не восстанавливается (невозможен).

Рассмотрим вначале кратко устойчивость системы. Прежде всего устойчивость проверяется исследованием (17-100). Если это уравнение не имеет вещественных корней, то система устойчива при любом виде нелинейной характеристики. Таким образом, первое условие устойчивости зависит только от структуры и параметров линейной части системы. Если же (17-100) имеет вещественные корни, то в зависимости от вида и параметров нелинейной характеристики либо систему можно сделать устойчивой, Либо это оказывается невозможным. Так, для релейной характеристики с зоной нечувствительности систему можно сделать устойчивой: 1) за счет изменения структуры и параметров линейной части — заменой на за счет деформации нелинейной характеристики — увеличением а или уменьшением В. Если же релейная характеристика не имеет зоны нечувствительности, когда

то при любом будет точка пересечения и будут автоколебания (устойчивость в этом случае будет означать автоколебания бесконечно большой частоты и бесконечно малой амплитуды).

Перейдем к рассмотрению устойчивости автоколебаний. Уравнения нелинейной системы могут иметь несколько периодических решений, часть из которых устойчива. Только устойчивым решениям будут соответствовать автоколебания нелинейной системы. В рассмотренном примере прямая в двух точках пересекает график следовательно, имеет два периодических решения с амплитудами колебаний Необходимо определить, какое из решений устойчиво. Отбор устойчивых решений произведем на основе следующих рассуждений. В замкнутом контуре (рис. 16-9) по условию возникают автоколебания в виде основе гармонической линеаризации из (17-95) получаем уравнения для автоколебательного режима:

Отсюда после исключения х и у находим:

где амплитудно-фазовая характеристика линейной части, -передаточная функция разомкнутого контура нелинейной системы (рис. 16-9). Выражение (17-101) показывает, что усиление сигнала цепью с передаточной функцией по амплитуде равно единице и что фаза сигнала при прохождении через эту цепь изменяется

В рассматриваемом примере условие (17-101) выполняется и для амплитуды и для амплитуды Частота автоколебаний в обоих случаях одинакова, поскольку она определяется свойствами линейной части системы. Для выявления, какой из режимов автоколебаний устойчив, разомкнем контур (рис. 16-9) и подадим на вход нелинейного элемента сигнал пусть при этом А близко к Затем в некоторый момент времени отключим внешний сигнал и одновременно замкнем систему. Если то в силу условия (17-101) система не «почувствует» манипуляций с отключением внешнего сигнала и замыканием системы. Если то станет меньше единицы в силу уменьшения с ростом А в окрестности точки пересечения Уменьшение приведет к затуханию амплитуды и снижению ее до величины А

Напротив, если то

и колебания в контуре будут раскачиваться до автоколебаний. Таким образом, точка пересечения соответствует устойчивым автоколебаниям, поскольку при увеличении амплитуды уменьшается и колебания затухают, а при уменьшении увеличивается и

колебания раскачиваются. Те же рассуждения относительно поведения в окрестности точки пересечения указывают, что этот режим автоколебаний неустойчив. При система возвращается в состояние равновесия и является устойчивой. При всех в системе нарастают колебания до автоколебаний с амплитудой