14-7. СВЯЗЬ МЕЖДУ ЧАСТОТНЫМИ И ПЕРЕХОДНЫМИ ФУНКЦИЯМИ. ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

У устойчивой системы полюсы передаточной функции находятся внутри единичного круга, а весовая или импульсная переходная функция удовлетворяет условию

Это условие совершенно аналогично условию абсолютной интегрируемости непрерывных функий (10-71) и не требует каких-либо дополнительных разъяснений; оно позволяет в формуле обращения принять следовательно, положить . В этом случае прямое преобразование приводит к

амплитудно-фазовой характеристике

Формула обращения (14-56) принимает вид:

Пара (14-100) — (14-101) представляет собой взаимные дискретные преобразования дискретной функции времени в функцию частоты и наоборот. В общем случае, преобразование некоторой функции носит название спектра этой функции

Поскольку преобразование (14-100) можно представить в вещественной форме:

В вещественной форме формула обращения (14-101) записывается в двух вариантах:

Формулы (14-103) позволяют по частотным характеристикам вычислить импульсные переходные функции. Обычно для этой цели используется соотношение (14-103а); при этом интеграл берется приближенно после аппроксимации ломаной или суммой элементарных трапеций.

Заметим, что формулы преобразования (14-100) — (14-101), как, впрочем, и формулы дискретного преобразования Лапласа, справедливы для функций . В связи с этим (14-103а) позволяет по известным вычислить

Преобразования называются односторонними, поскольку

Для функций определенных и для отрицательных значений и удовлетворяющих условию

соответственно будут иметь место двухсторонние преобразования

Если четная, т. е. удовлетворяет условию то спектр будет вещественной и четной функцией При четной функции под знаком суммы прямого преобразования Фурье формируются вещественные компоненты вида:

Поэтому прямое преобразование приобретает вид:

Обратное преобразование также приобретает вещественную форму: