в) Частотные характеристики релейных систем

Понятие о частртной характеристике релейных систем с графическим представлением годографа этой характеристики на комплексной плоскости было введено Я. 3. Цыпкиным {Л. 17-6]. Определим частотную характеристику системы с релейными элементами (1) и (2) табл. 16-2 следующим образом:

Определение предполагает возможность скачков и непрерывность При скачках условие переключения в нужную сторону будем записывать для когда слагаемое в формуле (17-111) берется равным

Используя (17-110) и (17-111) с учетом скачков получим:

где

т. е. вещественные и мнимые частотные характеристики линейной части системы. Как видно, первые члены обоих рядов образуют амплитудно-фазовую характеристику линейной части системы. Поэтому

Выражение (17-120) указывает способ вычисления по частотным характеристикам линейной части системы. На основе этого выражения можно также уточнить результаты, полученные методом гармонической линеаризации, поскольку, как видно, в первое приближение входит амплитудно-фазовая характеристика линейной части системы.

В соответствии с определением уравнение периодов вместе с условием переключения в нужную сторону запишется в следующем

Уравнение (17-121) и условие (17-122) показывают, что частоты всех автоколебательных режимов определяются точками пересечения годографа с прямой — параллельной действительной оси и расположенной в левой полуплоскости ниже нее на расстоянии

Иногда бывает удобно [Л. 17-13], несмотря на наличие скачков определить частотную характеристику релейной системы по формуле

В этом случае при том же уравнении периодов условие переключения в нужную сторону примет вид:

где частота автоколебаний, найденная из решения уравнения периодов. Уравнение периодов (17-121) и условие (17-122а) означают, что автоколебания определяются по пересечению годографа (17-120а) с прямой и при этом точка пересечения должна лежать левее прямой — параллельной вещественной оси. Представление в форме (17-120а) при условии (17-122а) дает возможность распространить метод гармонической линеаризации на системы, для линейной части которых .

Рис. 17-55. Определение частот автоколебаний.

Обратимся к системе, приведенной на рис. 17-53, и сопоставим анализ с -мошью частотных характеристик релейной системы с методом гармонической линеаризации. В соответствии с методом гармонической линеаризации

или

где

Для релейной характеристики с зоной неоднозначности а

Следовательно, для определения частоты и амплитуды автоколебаний имеем уравнение

Из сравнения (17-121), (17122) и (17-123) видно, что как при точном решении задачи, так и приближенном часто, та автоколебаний определяется по пересечению годографов частотных характеристик с одной и той же прямой, параллельной вещественной оси и проходящей ниже ее на расстоянии (рис. 17-55).

Для примера, рассмотренного на рис. 17-53 и 17-54, проведем исследование автоколебаний при методом гармонической линеаризации и при помощи частотной характеристики релейной системы взятой по формуле (17-120а). На рис. 17-56 построены годографы для трех значений передаточной функции линейной части на рис. 17-56,а построены годографы для системы без корректирующей цепи, когда

на рис. 17-56,б - для одной корректирующей цепи, когда

и, наконец, на рис. 17-56,в — для, системы с корректирующей цепью, когда

Заметим, что для первого случая а для второго и третьего случаев

Графические построения на рис. 17-56 показывают, что во всех трех случаях метод гармонической линеаризации и точный метод дают примерно одинаковые значения частот автоколебаний. Для первого случая без корректирующего устройства для второго и третьего случаев сек. Для второго И третьего случаев находим: . Как видно из графиков на рис. 17-56,б и в, при этом условие (17-122а) выполняется.

Методом гармонической линеаризации одновременно с частотой определяется и амплитуда колебаний А на входе нелинейного элемента или амплитуда переменной (рис. 17-63,а). Однако, как правило, интерес представляет амплитуда первой гармоники колебаний выходной величины системы х. Эта амплитуда может быть вычислена по формуле

Рис. 17-56. Примеры точного и приближенного определения частот автохолебаний.

Рис. 17-57. Пилообразные колебания.

где частота автоколебаний. По той же формуле определяется первая гармоника колебаний решении задачи точным методом.

Для одной корректирующей цепи, когда

автоколебания ноеят пилообразный характер (рис. 17-57). Из уравнения периодов в этом случае получаем также аналитическое выражение для частоты или полупериода автоколебаний:

Сама же амплитуда пилообразных колебаний всегда равна величине а.

В заключение заметим, что все изложенное справедливо и для идеального реле, когда и шрямая сливается с вещественной осью. Для реле с зоной нечувствительности — поз. (3) и (4) Табл. 16-2 - решения точным методом с помощью характеристик получаются более сложными. Приходится строить две частотные характеристики: для импульса и для паузы Пересечение этих характеристик в комплексной плоскости и определяет возможные автоколебания в системе.