в) Случай сильной фильтрации. Квазистационарный режим

Рассмотрим случай сильной фильт рации, когда случайные составляющие практически полностью подавляются фильтрами и интегрирующими звеньями и можно принять Кроме того, будем предполагать, что параметры настройки изменяются медленно в сравнении с переходными процессами в основном контуре, так что можно вынести за знак интеграла (квазистационный режим). В этом случае уравнения (20-32) принимают вид:

По условию независимые центрированные случайные функции. Шумы в объекте и будем также считать независимыми по отношению к Применяя операцию нахождения математического ожидания к уравнениям (20-33), находим:

где

Учитывая, что и полагая находим:

Значения, удовлетворяющие уравнениям

согласно (20-28) соответствуют минимуму математического ожидания квадрата рассогласования при разомкнутых цепях самонастройки. Вводя обозначение

для отклонений математических ожиданий параметров настройки от значений, соответствующих минимуму из (20-34) и (20-35) находим:

Эта система линейных дифференциальных уравнений полностью определяет математические ожидания параметров наспройки в режиме сильной фильтрации.

Для того случая, когда Параметры объекта за время рассматриваемых переходных процессов меняются незначительно, величины можно считать постоянными и (20-36) обращаются в уравнения с постоянными коэффициентами и характеристическим уравнением вида:

Это выражение полностью аналогично уравнению, типичному для непрерывных систем экстремального регулирования в квазистационарном режиме Если т. е. фильтры отсутствуют (рис. 20-13), то все корни характеристического уравнений отрицательны, т. е. имеет место устойчивость в отношении математического ожидания параметров настройки.

Для более общего случая, когда коэффициенты уравнений (20-36) нельзя считать постоянными, могут быть использованы приближенные методы исследования нестационарных систем

В практических приложениях обычно изменяется плавно и метод последовательных приближений, основанный на последовательном решении уравнений с «замороженными» коэффициентами, дает быструю сходимость.

В случае, когда весовые функции удовлетворяют условию ортогональности (20-27) и система (20-36) распадается на независимых уравнений первого порядка:

При устойчивость в этом случае всегда имеет место, так как (поточность самонастройки корректирующих устройств в установившемся режиме при сильной фильтрации определяется отклонениями, вызванными «дрейфом» точки экстремума (члена ), и отклонениями поиска. Отклонения, вызванные дрейфом точки экстремума, с достаточной точностью определяются уравнениями (20-36), в левой части которых т. е.

Таким образом, в установившемся режиме при сильной фильтрации

Подставляя эти выражения в (20-24) и применяя операцию математического ожидания, получаем:

где значение или при в точке минимума. В силу уравнений (20-35)

и записанное выражение принимает вид:

Эта формула совместно с выражением (20-29) для позволяет достаточно просто оценить точность экстремальной самонастройки корректирующих устройств в квазистационарном режиме при сильной фильтрации случайных составляющих в цепях самонастройки.

Характерно, что точность самонастройки в данном случае не зависит от шумов, действующих в объекте. Это следствие предполагаемой независимости центрированных случайных функций и эффекта сильной фильтрации, позволяющего отождествить функцию с ее математическим ожиданием