в) Влияние параметров на распределение корней. Метод Эванса

Представляет интерес задача об изменениях корней характеристического уравнения или, как говорят, о траекториях корней при изменении того или иного параметра системы.

Рис. 10-10. Области равной степени устойчивости и области равных затуханий для структурной схемы рис. 7-8,5.

Пусть, например, таким параметром будет общий коэффицич усиления К.

Запишем характеристическое уравнение в следующей форме:

где передаточная функция разомкнутой системы. Справедливы, очевидно, также следующие формы характеристического уравнения:

Из выражения (10-47) следует, что при корни характеристического уравнения замкнутой системы стремятся к корням характеристического уравнения разомкнутой системы

или к полюсам передаточной функции Из выражения (10-48) вытекает, что при корни характеристического уравнения замкнутой системы стремятся к корням полинома или к нулям функции При этом в последнем случае, поскольку степень полинома и равная ей степень полинома всегда больше степени то

корней удаляются в бесконечность. Если то все корни при уходят в бесконечность. Таким образом, установлена общая тенденция изменения корней, начало и конец их траекторий с изменением К.

Эвансом (США) разработан ряд правил [10-11], детализирующих поведение траекторий корней при изменении параметров. Проще всего разыскиваются корни, находящиеся на действительной оси. Из (10-47) имеем:

Полагая где положительное число, строим график

для положительных По построенному графику определяются все значения вещественных корней при данном К. График позволяет определить число комплексных корней и значения К, при которых вещественные корни начинают переходить в комплексные.

Для построения комплексных корней необходимо положить

где положительные числа. Подставляя это значение в (10-49), получаем:

Поскольку -вещественное, то должно быть:

Решая (10-51), находим при которой мнимая часть обращается в нуль. Кривая построенная в плоскости корней, является траекторией корней. Уравнение (10-52) позволит разметить эту траекторию определенными значениями К.

Вычисления по формулам (10-51) и (10-52) могут оказаться затруднительными. Можно рекомендовать следующий прием, сводящийся к построению серии деформированных логарифмических характеристик разомкнутой системы и не требующий вообще никаких вычислений. Запишем уравнение (10-49) в форме

При уравнение (10-53) в показательной форме имеет вид:

где модуль и в аргумент функции Поскольку положительные числа, то уравнение (10-54) распадается на два

Уравнения (10-55) и (10-56) удобно решать графически, производя построения в») в логарифмическом масштабе частот для различных значений При и -обычные логарифмические характеристики разомкнутой системы. Значение К, при котором является корнем, расположенным на мнимой оси. Определяя значение при котором частота среза оказывается равной находим тем самым коэффициент усиления при котором корни располагаются на мнимой оси. Если теперь вместо положить то это будет равноценно изменению сопрягающих частот логарифмических характеристик. С новой разметкой сопрягающих частот производится вновь построение логарифмических характеристик и вновь находится и

Все изложенное относится к влиянию любого параметра на распределение корней, а не только коэффициента усиления.

Пример. Построить траектории корней характеристического уравнения, соответствующего схеме (рис. 10-11) при Та сек и сек при изменении общего коэффициента усиления Характеристическое уравнение в рассматриваемом случае имеет вид:

Рис. 10-11. К примеру построения траекторий корней.

Для определения траектории вещественных корней построим кривую функции «вторая в данном случае равна:

Кривая построена на рис. 10-12,а. Кривая вычислена для отрицательных вещественных значений Из построения видно, что при все три корня с вещественны. При увеличении К корни перемещаются следующим образом. Нулевой корень а и наименьший по величине (этот корень при равен — 1,333) сближаются и при сливаются в один корень двойной кратности. Наибольший корень все время возрастает с ростом

Дальнейшее увеличение К превращает кратный корень в два комплексных сопряженных. В дальнейшем эти корни удаляются в бесконечность в правой полуплоскости, пересекая мнимую ось при <рис.

Для определения траектории комплексных корней на рис. 10-13 построены логарифмические характеристики при (для

При

Из построения получаем:

При

Как видно, следует построить логарифмические характеристики системы из трех инерционных звеньев с постоянными

причем последнее звено неустойчиво. Амплитудная характеристика этого звена такая же, как устойчивого звена, а фазовая характеристика равна (в данном случае Из построения фазовой характеристики получаем Полагая это значение равным частоте среза логарифмической характеристики, из графика рис. 10-13 находим:

откуда При этом уравнение имеет корни

Рис. 10-12. (см. скан) Функция и траектории корней уравнения, соответствующего схеме рис. 10-11.

Рис. 10-13. Использование логарифмических характеристик при построении траекторий корней.