б) Суждение об устойчивости по уравнениям первого приближения. Теоремы Ляпунова
Уравнения первого приближения можно получить тфлько в том случае, если нелинейные функции 
имеют производные. Тогда их можно представить в виде степенных рядов; при этом уравнения»
возмущенного движения принимают вид:
где
при всех 
представляют собой коэффициенты первого линейного члена разложения функций 
(для удобства написания эти коэффициенты взяты с обратным знаком); 
-нелинейные члены ряда, состоящие из степеней х и их произведений.
Коэффициенты 
зависят от времени, если правые части уравнений (17-4) зависят от времени, т. е. имеют вид 
Бели правые части уравнений (17-4) не зависят от времени, т. е. имеют вид 
то коэффициенты 
постоянны. Для этого случая написаны уравнения (17-9).
Откидывая нелинейные члены 
в (17-9), получаем уравнения первого приближения:
или кратко:
Система 
уравнений первого порядка всегда может быть записана в виде уравнения 
порядка относительно любой интересующей нас переменной 
Вводя символ 
запишем однородное уравнение относительно любой переменной в следующем виде:
где 
главный определитель системы (17-11)
Заменяя D комплексным числом 
получаем характеристическое уравнение системы первого приближения:
Поскольку система первого приближения есть линейная система, к ней приложимы все критерии устойчивости, изложенные выше. Если система первого приближения устойчива, то говорят, что исходная нелинейная система устойчива по первому приближению (при этом имеется ввиду асимптотическая устойчивость, поскольку речь идет об 
Однако уместен вопрос: будет ли устойчива в данном режиме нелинейная система, если ее устойчивость проверена только по первому приближению, и каково влияние отброшенных нелинейных Членов 
разложения в ряды функций 
Ответ на этот вопрос дают теоремы А. М. Ляпунова.
Теорема первая. Если характеристическое уравнение системы первого приближения имеет корни только с отрицательными вещественными частями, то невозмущенное движение устойчиво и притом асимптотически, каковы бы ни были
функции (нелинейные члены) 
в уравнения (17-9) системы.
Теорема вторая. Если между корнями характеристического уравнения первого приближения находятся такие, вещественные части которых положительны, то невозмущенное движение неустойчиво, какие бы ни были функции 
в уравнениях (17-9) системы.
Случаи, когда характеристическое уравнение имеет корни на мнимой оси, являются особенными. В особенных случаях задача об устойчивости нелинейной системы не может быть решена на основе уравнений первого приближения. Устойчивость или неустойчивость зависит от вида функций 
Теоремы Ляпунова имеют весьма важное значение, поскольку они позволяют судить об устойчивости нелинейных систем по уравнениям первого приближения. И до Ляпунова, полагаясь на интуицию, пользовались уравнениями первого приближения при исследовании устойчивости. Достаточно указать хотя бы на работы Вышнеградского. Однако, поскольку до работ Ляпунова не 
строгого доказательства возможности использования уравнений первого приближения, этот прием вызывал сомнения.
