б) Общий метод D-разбиения в плоскости двух параметров. Линейная задача

Любую точку на плоскости параметров будем называть фигуративной точкой. Когда фигуративная точка на диаграмме Вышнеградского находится в заштрихованной области, система устойчива все корни характеристического уравнения расположены левее мнимой оси. Если фигуративная точка будет двигаться к границе области устойчивости, то хотя бы один корень или пара комплексных сопряженных корней (в диаграмме Вышнеградского — пара корней) начнут перемещаться к мнимой оси. При пересечении фигуративной точкой границы области устойчивости или кривой D-разбиения один корень или пара корней перейдут в правую полуплоскость. Если Теперь фигуративная точка будет перемещаться по границе области устойчивости, то или один из корней будет оставаться в начале координат или пара сопряженных мнимых корней будет перемещаться вдоль мнимой оси. Последнее соображение и кладется в основу определения кривой разбиения или кривой границы области устойчивости. Пусть каких-либо два варьируем параметра линейно входят в характеристический полином Характеристическое уравнение в этом случае записывается в виде:

где полиномы

При пересечении фигуративной точкой границ области D-разбиения величина оказывается корнем этого уравнения и оно обращается в тождество

Выделим действительную и мнимую части в каждом полиноме:

Тождество (9-28а) имеет место, если раздельно равны нулю действительная и мнимая части:

Последние два уравнения есть уравнения с двумя неизвестными Если главный определитель системы то каждому значению будет соответствовать одна точка на границе области устойчивости. Решая их относительно неизвестных при находим:

Уравнения (9-31) и (9-32) представляют собой параметрические уравнения границы области D-разбиения в плоскости параметров При указанном в (9-29) и (9-30) порядке записи действительных и мнимых частей параметры образуют правую систему координат с осью абсцисс (рис. 9-14,а).

При перемещении точки по мнимой оси в плоскости корней снизу вверх, т. е. при изменении о) от до фигуративная точка в плоскости будет перемещаться по границе области D-разбиения. При изменении (о от до фигуративная точка дважды обегает границу области устойчивости: один

Рис. 9-14. Правила штриховки (а), а также примеры взаимного расположения кривых -разбиения и особых прямых (б).

раз при (изменении от до и второй раз при изменении от до (Полиномы четные функции, а полиномы нечетные (функции . Следовательно, определители нечетные функции ко, а значит четные функции ко. Поэтому получается одна граница области устойчивости независимо от того, берется ли для вычисления или

При помощи формул для и левая полуплоскость плоскости корней отображается в область устойчивости в плоскости параметров и , (Можно показать ], что преобразование с помощью формул (9-31) и сохраняет направление обхода замкнутых контуров (сохраняет ориентацию) при и меняет (направление обхода (меняет ориентацию) три Это означает, что при область устойчивости остается слева, если совершать обход по кривой -разбиения в направлении возрастания а при остается справа при том же направлении обхода. При движении по мнимой оси от — до левая полуплоскость находится слева (рис. Поэтому в пространстве параметров область устойчивости будет находиться слева от границы, если только

Для фиксации области или области устойчивости, построенной по точкам согласно (9-31), (9-32), кривая границы области штрихуется со стороны области устойчивости. При обходе по кривой, соответствующей увеличению со, и при штрихуется левая сторона кривой, ограничивающей область устойчивости, причем штриховка должна быть двойная, так как фигуративная точка дважды пробегает по кривой в противоположных направлениях при изменении от до Соответственно при штрихуется дважды правая сторона кривой, ограничивающей область устойчивости при движении в направлении возрастания .

При переходе фигуративной точкой границы с двойной штриховкой из заштрихованной области в незаштрихованную два корня характеристического уравнения переходят из левой полуплоскости в правую. И, наоборот, переход фигуративной точки в заштрихованную область приводит к переходу двух комплексно сопряженных корней в левую полуплоскость.

Нужно отметить, что заштрихованная область может и не быть областью устойчивости. Заранее в отношении заштрихованной области можно только сказать, что уравнения, принадлежащие этой области, имеют на два корня в левой полуплоскости (больше, чем уравнения, принадлежащие незаштрихованной области.

Принадлежность заштрихованной области к области устойчивости

устанавливается для какой-либо, фигуративной точки с помощью любого из описанных критериев устойчивости. Если одна точка данной области соответствует устойчивой системе, то, следовательно, вся исследуемая область является областью устойчивости.

При построении границ области устойчивости может оказаться, что при некоторых частотах уравнения для перестают быть линейно независимыми. Линейно независимые уравнения для для каждой частоты дают одну определенную точку на плоскости Уравнения для утратившие линейную независимость при некотором значении определяют уже не одну точку на плоскости а прямую, которая получила название особой прямой. Частота при которой уравнения для теряют линейную независимость, обращает все три определителя в нули. Уравнение особой прямой — это любое из уравнений (9-31) или (9-32) при частоте

Очень часто определители обращаются в нули, и уравнения для теряют линейную независимость при Это происходит в тех случаях, когда свободный член характеристического уравнения зависит от параметра или Если, например, свободный член зависит от параметра то при следовательно, уравнение особой прямой можно получить, если приравнять нулю зависящий от параметра последний член характеристического уравнения.

Укажем на некоторые правила штриховки

Особая прямая, соответствующая штрихуется одной штриховкой. Точка, соответствующая для особой прямой «и кривой -разбиения есть общая точка. Вблизи этой общей точки прямая штрихуется так, чтобы заштрихованные и незаштрихованные части прямой и кривой были обращены друг к другу. В общей точке направление штриховки примой изменяется. При других пересечениях прямой и кривой штриховка прямой не меняется. Правило также справедливо, если общая точка прямой и кривой находится в бесконечности в плоскости параметров На рис. приведены примеры взаимного расположения кривой D и особой прямой, получающихся при

Если старший член характеристического уравнения зависит от параметра или , то появляется особая прямая, соответствующая точке В самом деле, пусть в уравнений степени старший член зависит, например, от параметра и имеет, следовательно, вид Разделим все уравнение (9-28) на тогда при получим, что

Последнее означает, что при имеется особая прямая. Уравнение же особой прямой получаем, приравняв нулю коэффициент при старшей производной, зависящей от параметра

Особая прямая, соответствующая также штрихуется одной штриховкой. Правила штриховки точно такие же, как и для особой прямой, соответствующей

Возможны случаи, когда особая прямая соответствует некоторой частоте При частоте определители равны нулю. Следовательно, в общей точке для прямой и -нривой определитель меняет знак. Изменение знака определителя означает, что следует изменить штриховку D-кривой. Прямая штрихуется по тем же правилам, что и в предыдущих случаях, но двойной штриховкой.

Пример Пусть характеристический полином системы имеет следующий вид:

Построить границу области устойчивости в плоскости параметров при сек и сек.

Обозначим Тогда

Рис. 9-15. К примеру построения области устойчивости в плоскости двух параметров: (линейная задача).

Заменим на

Приравнивая порознь нулю действительную и мнимую части последнего уравнения, находим:

В данном случае

По найденным параметрическим уравнениям на рис. 9-15 построена кривая D-разбиения. При кривая начинается в точке и при уходит в бесконечность в третьем квадранте плоскости координат и 7). В бесконечности при кривая переходит из третьего квадранта в первый и при уходит в бесконечность вдоль полуоси Поскольку старший член рактеристического уравнения зависит от параметра а свободный — от параметра у, построение должно быть дополнено двумя особыми прямыми.

Уравнения этих прямых в данном случае будут следующие:

т. е. особые прямые — оси координат и 4, Ось (уравнение является особой прямой, соответствующей а ось (уравнение особой прямой, соответствующей

Штриховка D-кривых и особых прямых произведена согласно изложенным правилам. В первом квадранте кривая штрихуется слева в направлении возрастания со, так как определитель а в третьем квадранте — справа, так как . В общей точке при для D-кривой и прямой меняется штриховка этой - прямой.

При малых положительных значениях и 1) система, очевидно, устойчива, поэтому область под D-кривой в первом квадранте есть область устойчивости или область Область устойчивости получается также при отрицательных значениях .