12-1. СТАЦИОНАРНЫЕ И НЕСТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

а) Характеристики случайных функций

Случайным называется процесс, описываемый случайными функциями. Случайной функцией некоторой независимой переменной называется такая функция значение которой при любом заданном является случайной величиной.

Поскольку процессы динамических систем протекают во времени, постольку мы будем рассматривать случайные функции одного аргумента — времени t.

На практике встречаются случайные функции нескольких аргументов. Например, температура в какой-либо точке тропосферы является случайной функцией не только времени, но и координат рассматриваемой точки.

Понятие случайной (величины неразрывно связано с множеством опытов. (Поэтому и понятие случайной функции также связано с множеством опытов.

Функция, получаемая в результате каждого отдельного опыта, является определенной, неслучайной. Эта функция называется конкретной реализацией случайной функции. Случайная функция представляет собой совокупность всех реализаций.

Пусть, например, имеется большое число полностью идентичных усилителей, напряжения шумов которых записываются (осциллогра-фируются) в течение некоторого интервала времени

Запись напряжения шума на выходе каждого данного усилителя в интервале Т является конкретной реализацией, а вся совокупность записей характеризует случайную функцию (рис. 12-1). Случайная функция при данном по определению есть случайная величина и часто называется сечением случайной функции.

Сечение случайной функции, как и любая другая случайная величина, характеризуется распределением вероятностей.

Рис. 12-1. Реализации стационарного случайного процесса.

Функция распределения и

выражает вероятность того, что случайная функция — в момент времени меньше заданной величины Ллотность (вероятности как известно, есть производная от интегрального распределения вероятности

Величина выражает вероятность того, что случайная функция в момент времени имеет значение в интервале от до

Функции распределения вероятностей называются одномерными, так как они относятся только к одному (вообще говоря, произвольному) сечению случайной функции.

Математическим ожиданием или средним (по множеству) значением случайной функции называется такая неслучайная функция которая при любом значении аргумента равна математическому ожиданию соответствующего сечения случайной функции. Из этого определения и понятия математического ожидания случайной величины следует:

Разность называется центрированной случайной функцией. Математическое ожидание центрированной случайной функции равно нулю:

Дисперсия случайной функции

в любой момент времени равна дисперсии соответствующего сечения.

Распределение вероятностей служит исчерпывающей характеристикой случайной величины. Однако для случайной функции одномерное распределение вероятностей не является достаточной характеристикой. Действительно, одномерное распределение вероятностей и, тем более, такие производные характеристики, как математическое ожидание и дисперсия, ни в коей мере не характеризуют протекание случайного процесса во времени. Так, например, для всех процессов, в которых распределение вероятности не зависит от времени, изменение масштаба по оси времени никак не отражается на указанных характеристиках. Между тем воздействие на динамическую систему каждой из реализаций возмущающей силы зависит от изменения этой силы во времени.

Определенную характеристику временных свойств случайной функции дают многомерные, распределения вероятностей. Так, двухмерное распределение вероятностей

относится к двум произвольным сечениям случайной функции и выражает вероятность того, что в момент времени случайная функция меньше а в момент -меньше Соответствующая плотность вероятностей равна:

Можно рассматривать также n-мерное распределение вероятностей, охватывающее сечений. Эти понятия используются обычно не столько для практических вычислений, сколько для теоретических построений и определений.

Практически для характеристики временной структуры центрированной случайной функции используется математическое ожидание произведения двух сечений этой функции

Эта функция (называется корреляционной или автокорреляционной и играет основную роль в теории случайных процессов. Из определения корреляционной функции ясно, что она симметрична относительно переменных

Если то

Таким образом, корреляционная функция, отнесенная к одному и тому же сечению, равна среднему значению квадрата случайной функции. Поскольку случайная функция центрирована, постольку и корреляционная функция при равна дисперсии случайной функции.

В системах автоматического регулирования часто на одну и ту же систему действует несколько случайных возмущающих сил, независимых или взаимосвязанных. Для характеристики статистической взаимосвязи случайных функций используются совместное распределение вероятностей и взаимная корреляционная функция.

Если имеются две случайные функции то совместная функция распределения вероятностей

выражает вероятность того, что в момент времени значение меньше а в момент времени значение меньше Совместная плотность вероятностей равна:

Взаимной корреляционной функцией двух центрированных случайных функций х, у называется математическое ожидание произведения сечений этих функций