в) Логарифмические характеристики элементарных звеньев

Прологарифмируем выражение

Функция периодическая, поэтому -функция многозначная. В дальнейшем будем иметь в виду только главное значение логарифма (2-68). Логарифмические характеристики перешли в теорию автоматического регулирования из акустики вместе с терминологией и единицами измерения. Поэтому взамен рассматривается функция которая называется логарифмической амплитудной характеристикой, а также усилением или затуханием звена. Единица измерения децибел (усиление или затухание столько-то децибел). Кривая строится в логарифмическом масштабе частот. Характеристика построенная в логарифмическом масштабе частот, называется фазовой логарифмической характеристикой.

Увеличение частоты вдвое называется увеличением частоты на октаву. Увеличение частоты в 10 раз именуется увеличением частоты на декаду.

Найдем логарифмические частотные характеристики элементарных звеньев

Инерционное звено

Определим приближенные значения при малых частотах и больших частотах,

Рис. 2-26. Логарифмическая фазовая характеристика инерционного звена,

когда

При построении графика будем по оси абсцисс откладывать величину тогда в первом случае будет прямая, параллельная оси абсцисс. Во втором случае также прямая, с отрицательным наклоном, проходящая через точку с координатами Определим наклон этой прямой. Пусть частота увеличилась на декаду (возросла в 10 раз). Используя (2-71), подсчитаем приращение которое получилось

Таким образом, прямая (2-71) проходит через упомянутую точку с отрицательным наклоном 20 дб на декаду. Обе называются асимптотами логарифмической характеристики. Ломаная, составленная из двух асимптот, не сильно отличается от

На рис. 2-25 построена ломаная, состоящая из двух асимптот, которые всегда пересекаются при частоте Наибольшее отличие ломаной от как раз имеет место при частоте Оно равно примерно 3 дб. Обычно для инерционного звена используется асимптотическая логарифмическая характеристика — ломаная, состоящая из двух прямых, сопрягающихся при Фазовая характеристика в логарифмическом масштабе частот построена на рис. 2-26. Заметим, что при сопрягающей частоте

Интегрирующее звено

Как видно, в логарифмическом масштабе частот прямая с отрицательным наклоном 20 дб на декаду, проходящая через точку

Рис. 2-27. Логарифмическая амплитудная и фазовая (2) характеристики интегрирующего звена.

Заметим, что прямая пересекает ось абсцисс при частоте, равной

Колебательное звено

Амплитудные и фазовые логарифмические характеристики приведены на рис. При малых частотах имеет асимптоту, параллельную оси абсцисс. При больших частотах асимптотой будет прямая с наклоном 40 дб на декаду. Обе асимптоты пересекаются при Ломаной, образованной из отрезков двух асимптот, можно «аппроксимировать истинное значение для При затуханиях, меньших 0,5, ошибки от замены ломаными будут слишком велики. При затуханиях, -ших 1,2, истинное значение можно заменить ломаной, составленной из трех отрезков прямых. Точки сопряжения отрезков соответствуют частотам До частоты функция аппроксимируется прямой, параллельной оси абсцисс. Между частотами и функция аппроксимируется прямой с наклоном При частотах, больших проводится прямая с наклоном (рис. 2-29).

Рис. 2-28. Логарифмические амплитудные (а) и фазовые (б) характеристики колебательного звена при различных коэффициентах затухания.

Рис. 2-29. Асимптотическая ЛАХ звена второго порядка.