г) Выделение области устойчивости в плоскости одного комплексного параметра

Может возникнуть необходимость выяснить влияние на устойчивость только одного какого-либо параметра. Таким параметром может быть какая-либо постоянная времени или коэффициент усиления системы и т. п. Чаще всего таким параметром бывает общий коэффициент усиления системы автоматического регулирования. В этом случае характеристическое уравнение можно записать в форме где полиномы

В дальнейшем будем! считать, что комплексный параметр, причем только вещественная часть будет значением интересующего нас параметра. Таким образом, предстоит выделить область устойчивости в комплексной плоскости Как и в предыдущем случае, заменим на и найдем:

Задавая значения от до построим в плоскости кривую D-разбиения. При изменении со от до кривая штрихуется слева по направлению обхода, так как в данном случае сохраняется ориентация при преобразовании с помощью (9-33). Если в плоскости пересечь кривую, переходя с ее незаштрихованной стороны на заштрихованную, то в плоскости корней один корень пересекает мнимую ось, переходя из правой полуплоскости на левую. При изменении от до фигуративная точка несколько раз может обегать по кривой -разбиения. В этом случае кривую штрихуют столько раз, сколько раз точка пробегает по кривой. Соответственно увеличивается число корней, пересекающих мнимую ось при пересечении кривой D-разбиения.

Пример. Рассмотрим систему автоматического регулирования, приведенную на рис. 7-8,б для случая, когда измеритель представляется инерционным звеном. Замкнутая система состоит из трех. инерционных звеньев и имеет следующее характеристическое уравнение

Выясним влияние на устойчивость коэффициента усиления К. Полагая найдем:

Рис. 9-17. К примеру выделения области устойчивости в плоскости одного комплексного параметра: сек;

Заменяя на получаем:

Изменяя от до получим кривую, изображенную на рис. 9-17. На этом рисунке граница области устойчивости построена для трех различных вариантов численных значений постоянных времени.

Очевидно, что область внутри петли содержит наибольшее число корней слева от мнимой оси, потому она может быть областью устойчивости. Для того чтобы убедиться в этом, можно взять какой-либо частный случай, для которого условия устойчивости очевидны. Так, например, если положить то получим устойчивую систему. Но точка лежит внутри петли, следовательно, вся область внутри петли есть область устойчивости иди область Так как нас интересуют лишь действительные значения то из всей области устойчивости имеет смысл только отрезок на вещественной оси, причем и критическое значение коэффициента усиления. Следовательно, для того чтобы система была устойчива, коэффициент усиления должен удовлетворять условию

Пользуясь способом выделения области устойчивости в плоскости одного комплексного параметра, можно с иных позиций доказать изложенные выше частотные критерии устойчивости.

В некоторых особых случаях [Л. 9-3] характеристическое уравнение линейной системы может иметь комплексные коэффициенты. Тогда, очевидно, будет иметь смысл как действительная, так и мнимая части интересующего комплексного параметра.