ГЛАВА СЕМНАДЦАТАЯ. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ И (МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

17-1. УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Для нелинейных систем понятие устойчивости оказывается значительно более сложным, чем для линейных систем. Оно шире содержанием в связи со значительным разнообразием движений и процессов в нелинейных системах. Впервые строгая теория устойчивости движений и процессов была разработана А. Ляпуновым. Им было определено понятие устойчивости (устойчивость по Ляпунову) и разработаны методы исследования устойчивости, не требующие решения дифференциальных уравнений системы [17-1].

а) Устойчивость по Ляпунову

Пусть поведение системы (системы автоматического регулирования или одного объекта регулирования, или вообще любой электромеханической системы) описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений

где параметры движения или координаты системы; нелинейные функции параметров и времени, заданные в некоторой области пространства координат у.

Задание области означает, что только внутри этой области поведение системы описывается уравнениями (17-1). Вне области уравнения теряют силу. Так, например, уравнения (16-5) справедливы в области докритических углов атаки. При сверхкритических углах уравнения теряют силу, поскольку теряют силу принятые зависимости аэродинамических сил и моментов (функции от параметров движения.

Зависимость правых частей уравнения от времени указывает, что заданы все необходимые возмущающие силы, управляющие воздействия и т. п. Если зависимость от времени отсутствует, то данная система называется автономной. Это значит, что движение в системе происходит в силу ее внутренних свойств и причин. Если зависит от времени, система называется неавтономной.

Каждой группе начальных условий по в области соответствует свое решение системы (17-1):

Из множества решений (17-2), соответствующих всему множеству групп начальных условий, можно выбрать такие, которые по условиям данной задачи представляют наибольший интерес. Эти решения будут характеризовать движения системы, которые назовем невозмущенными. Невоз мущенные процессы или движения отличаются от множества других движений, которые будем называть возмущенными. В теории автоматического регулирования в качестве

невозмущенных движений чаще всего принимают установившиеся и вынужденные движения систем. Теоретически этот вид невозмущенных движений является решением (17-1) при Так, например, для самолета в качестве невозмущенного движения обычно берется результат решения системы алгебраических уравнений (16-6). Это решение будет в то же время одним из частных решений системы исходных дифференциальных уравнений. Важно подчеркнуть, что за невозмущенное движение можно брать любое движение системы, лишь бы это движение было каким-либо решением системы уравнений (17-1).

Пусть из всех возможных движений движение, определяемое решением

при начальных условиях взято за невозмущенное. Все другие движения

будут возмущенными движениями. Переменные будут отклонениями от невозмущенного движения, а -соответственно отклонениями начальных условий от начальных условий невозмущенного движения. В зависимости от величин и свойств системы возможны три варианта поведения возмущенных движений по отношению к избранному невозмущенному.

1-й вариант. Возмущённые движения всегда расходятся по отношению к невозмущенному, т. е. как бы ни были малы начальные отклонения в дальнейшем при

2-й вариант. Находится или имеется такая область начальных отклонений (пусть сколь угодно малая), при которой возмущенные движения не расходятся по отношению к невозмущенному, т. е. конечно во всем диапазоне

3-й вариант. Находится или имеется такая область начальных отклонений (пусть сколь угодно малая), при которой возмущенные движения сходятся к невозмущенному, т. е. при

Во варианте невозмущенное движение устойчиво (по Ляпунову), в —асимптотически устойчиво и, наконец, в —неустойчиво.

Для того чтобы можно было дать более строгую формулировку устойчивости, запишем (17-1) в отклонениях от невозмущенного движения. Подставим (17-1):

Далее, так как

то уравнения для отклонений записываются в виде:

где

Благодаря замене переменных исследование устойчивости невозмущенного решения (17-1) свелось к исследованию устойчивости так называемого нулевого решения уравнения (17-4):

Нулевое решение (17-4), т. е.

является невозмущенным решением, которое представляет собой состояние покоя в координатах Исследование устойчивости невозмущенного движения эквивалентно исследованию состояния покоя системы в начале координат

Пространство координат называется фазовым пространством. При грех координатах (уравнение 3-го порядка) фазовое пространство — трехмерное геометрическое пространство; при двух переменных (уравнение 2-го порядка) фазовое пространство вырождается в фазовую плоскость, при одной переменной (уравнение 1-го порядка) в фазовую прямую.

Точка в фазовом пространстве с текущими координатами называется изображающей точкой. Поскольку отклонения или координаты изменяются, точка движется в фазовом пространстве. След движения точки называется фазовой траекторией (рис. 17-1). Каждой группе начальных условий соответствует начальная точка

Совокупность фазовых траекторий, соответствующих множеству начальных условий, называется фазовой картиной движения системы.

Характеризуем мгновенное положение изображающей точки радиусом-вектором При этом

Соответственно для начального момента

Теперь можно более строго сформулировать условие устойчивости.

Рис. 17-1. Фазовые траектории.

Рис. 17-2. К определению условия устойчивости.

Невозмущенное движение устойчиво, если при всяком положительном как бы оно ни было мало, можно подобрать такое что для всех начальных удовлетворяющих условию

отклонения будут удовлетворять неравенству

при любом

Если, кроме того, при то невозмущенное движение асимптотически устойчиво. Последнее означает, что все фазовые траектории, начинающиеся внутри замкнутой области стягиваются к началу координат (рис. 17-1). Система неустойчива, если невозможно найти при котором выполнялось бы неравенство

Неравенство (17-7) определяет множество значений начальных отклонений или точек внутри и на границе некоторой замкнутой поверхности вокруг начала координат (рис. 17-2). Неравенство (17-8) указывает, что изображающая точка не достигает замкнутой поверхности