д) Вынужденные колебания релейных систем. Захватывание (синхронизация или подавление) автоколебаний

Изучим поведение релейной системы в установившемся режиме при периодическом входном воздействии на релейный элемент с частотой или периодом Устойчива ли релейная система или ей свойственны автоколебания, все равно в результате воздействия в системе может установиться вынужденный периодический режим. При вынужденном режиме все координаты релейной системы изменяются с частотой . С этой же частотой будет переключаться релейный усилитель. На линейную часть системы, как и при автоколебаниях, будет воздействовать последовательность знакопеременных прямоугольных импульсов. Периодическое решение для выходной величины линейной части и законы ее колебаний остаются, следовательно, такими же, как и автоколебательном процессе. В отличие от автоколебаний период вынужденных колебаний задан и равен Задача состоит в определении условий существования вынужденных колебаний заданной частоты . В линейных системах вынужденные колебания с любой частотой всегда возможны. В нелинейных и в частности, релейных системах не при всех условиях возможны вынужденные периодические колебания. Если в системе до воздействия колебаний существовали автоколебания, то возможность существования периодического режима с частотой воздействия означает захватывание, т. е. синхронизацию или подавление автоколебаний внешним периодическим воздействием

Для анализа условий существования вынужденного периодического (режима с частотой (разомкнем (цепь обратной связи у входа в релейный усилитель и подадим на вход релейного усилителя сигнал определенной амплитуды. Далее, не снимая воздействия замкнем систему. Если периодический режим с частотой в замкнутой системе возможен, то замыкание цепи обратной связи не должно нарушить существовавший до этого вынужденный режим в разомкнутой цепи К

Если в результате замыкания нарушится периодический режим с частотой то, следовательно, такой режим в замкнутой системе при данной амплитуде невозможен. Наиболее просто решается задача о существовании периодического вынужденного режима, если воздействующие колебания имеют прямоугольную форму. На рис. 17-62 показано, как в результате воздействия колебаний прямоугольной формы в разомкнутой системе установились колебания той же частоты. Если теперь

Рис. 17-62. Вынужденный колебательный режим.

замкнуть систему, то при достаточно большой амплитуде прямоугольных колебаний установившийся колебательный режим в системе не изменится. Достаточно большая амплитуда обеспечит изменение знака в те же моменты временичто и изменение знака Это означает, что добавление выходного сигнала к входному не оказывает никакого влияния и после замыкания системы остается, прежний режим переключения реле.

Условия существования вынужденного периодического режима точно такие же, как и условия существования автоколебаний, т. е.

Соответственно для идеального реле

В данном случае

При знак выходной величины релейного усилителя меняется с плюса на минус: отсюда условие переключения в нужную сторону.

Однако условия (17-125) и (17-126) еще не гарантируют существования вынужденного периодического режима. В зависимости от фазовых соотношений для обеспечения периодического режима может потребоваться амплитуда не ниже определенного значения. Для существования периодического вынужденного режима при всех фазовых соотношениях величина на отрезке положительного полупериода от до должна быть больше, чем т. е.

для

В силу симметрии колебаний аналогичное условие будет выполняться и для отрицательного полупериода. Условие (17-127) гарантирует от «непредусмотренных» переключений внутри интервала

Очевидно, что при достаточной" амплитуде прямоугольных колебаний условия (17-125) (17-126) и (17-127) всегда могут быть выполнены и периодический режим будет существовать.

Весьма просто решается вопрос и об устойчивости вынужденного периодического режима при прямоугольной форме колебаний Опять-таки устойчивость или сходимость периодического режима обеспечивается выбором амплитуды . В самом деле, Пусть в процессе установления вынужденных колебаний значение в течение положительного полупериода равно причем Периодический режим установится, если при для всех поскольку в этом случае система ведет себя, как разомкнутая, а в разомкнутой системе периодический режим по условию возможен.

С некоторыми особенностями и небольшими усложнениями все изложенное справедливо и для синусоидального воздействия, когда Условия; (17-125) и (17-126) в этом случае принимают вид:

где

Условия (17-128) и (17-129) должны быть дополнены условием

(17-127), выполнение которого можно проверить после вычисления кривой

Из (17-128) можно определить фазу синхронизации как функцию амплитуды А и частоты воздействующих синусоидальных колебаний. Фаза это фаза синусоидальных колебаний по отношению к фазе переключения реле. Из (17-128) находим:

Поскольку периодический режим возможен, когда

Выражение (17-130) дает два решения для фазы синхронизации: связанные соотношением

Какая из фаз или будет иметь место определяется из условия (17-129) и из условия устойчивости вынужденного периодического режима. Заметим, что исследование устойчивости вынужденных колебаний сводится к исследованию устойчивости фазы синхронизации, поскольку частота задана. Точное исследование устойчивости связано с исследованием нелинейных уравнений в конечных разностях. Рассуждения, позволяющие оцёнйть устойчивость приближенно, можно найти в [Л. 17-7]. Из (17-128) можно определить наименьшую критическую амплитуду (в функции частоты), при которой возможен синхронный режим. При критической амплитуде следовательно,

Формула (17-131) определяет только необходимое значение так как «нужно еще проверить условие (17-127). Возможно, что критическая амплитуда определится именно условия выполнения этого неравенств.

Интересно выяснить связь между частотами автоколебаний и частотами вынужденных колебаний Заменим в (17-130) и (17-131) величину а согласно (17-104а) на

Тогда

и

Отсюда видно, что знак фазы синхронизации зависит от соотношения частот а критическая амплитуда обращается в нуль при равной частоте автоколебаний.

Возьмем для примера систему с передаточной функцией линейной части

и коэффициентом усиления релейного элемента В этом случае

На рис. 17-63, б для данной системы по формуле построены графики критических амплитуд в функции для различных значений Область лежащая

Рис. 17-63. Зависимость критических амплитуд от частоты вынужденных колебаний и характеристики реле.

«ьтше кривой это область синхронного режима или вынужденных колебаний с частотой когда автоколебания в системе» подавлены (рис: 17-63,в).

Область под кривой — это область непериодических режимов. Область 2 ниже кривой частотах, меньших частоты автоколебаний (двойная штриховка на рис. (17-63,а), может быть названа областью следящего режима. В этой области система с точностью до автоколебаний будет воспроизводить входной синусоидальный сигнал Несколько подробнее об этом будет сказано ниже при анализе вибрационной линеаризации релейных систем.

В синхронном режиме при когда будут две фазы синхронизации: при этом

При когда

На рис. 17-64 приведены фазовые соотношения в синхронном режиме для случая На рис. 17-64,а наказана картина для меньшей фазы а на рис. для боль, шей фазы Исследование устойчивости должно решить, при какой из фаз синхронизации периодический режим будет устойчив. Большого практического значения этот вопрос не имеет, поскольку при выполнении условия (17-127) периодический режим установится, а при какой фазе — это не так уже существенно.

Рис. 17-64. К выяснению фазовых соотношений в синхронном режиме.

Условия вынужденного периодического режима при гармоническом воздействии и значение критической амплитуды можно получить на основе годографа частотной характеристики релейной системы.

Образуем комплексную функцию из значений в момент времени следующим образом:

Из условий (17-1128) и (17-129) и выражения (17-134) вытекает, что существование периодического режима и фазы синхронизации определяется пересечением окружности радиуса центр «которой расположен на годографе в точке с прямой, параллельной вещественной оси и находящейся от нее на расстоянии (или самой вещественной оси при

Пример графического определения фаз синхронизации приведен на рис. 17-65. Если окружность радиуса с центром на годографе не пересекает упомянутой прямой, то периодический режим частоты не существует. С помощью таких же графических построений определяется зависимость критической, амплитуды от частоты При критической амплитуде окружность радиуса касается прямой или вещественной оси (рис. 17-66).

Вопрос о существовании периодического режима с частотой о фазах синхронизации и о критических амплитудах можно решить приближенно, используя метод гармонической линеаризации. скольку первым приближением является амплитудно-фазовая характеристика азомкнутой системы, для решения указанных задач при релейных характеристиках (1) и (2) (табл. 16-2) можно на графиках рис. 17-66 и 17-66

Рис. 17-65. Графическое определение фаз синхронизации.

заменять на более простую зависимость и тем самым, следовательно, воспользоваться методом гармонической линеаризации.

Рис. 17-66. Определение зависимости критической амплитуды от частоты вынужденных колебаний.

При других видах релейных и «Нелинейных характеристик применение метода гармонической линеаризации требует (специальных выкладок [Л. 7-2 и 17-10].