г) Прямой метод Ляпунова

Как уже упоминалось, запись уравнений возмущенного движения в отклонениях сводит задачу об устойчивости невозмущенного процесса или движения к устойчивости точки покоя в начале координат фазового пространства. Это обстоятельство дает возможность провести аналогию между устойчивостью движения по Ляпунову и устойчивостью равновесия тела в консервативном силовом поле.

Достаточное условие устойчивости равновесия в консервативном силовом поле дается теоремой Лагранжа — Дирихле если в положении равновесия потенциальная энергия системы имеет минимум, то это положение равновесия устойчиво. Положение равновесия окружается семейством эквипотенциальных поверхностей где представляет собой потенциал на данной поверхности V (рис. 17-2). По мере убывания с замкнутая поверхность стягивается к началу координат, которому соответствует минимум потенциальной энергии. Производные от потенциальной функции V по любой из координат х, всегда отрицательны. Это значит, что потенциальная энергия убывает по мере приближения к началу координат. Градиент потенциала (вектор) направлен всегда внутрь любой поверхности

Эти представления классической механики, связанные с вопросами устойчивости в потенциальном силовом поле, размещенном в физическом трехмерном пространстве, Ляпунов обобщил на фазовое пространство, благодаря чему были созданы теория устойчивости движения и как частный случай теория устойчивости равновесия систем, более общих, чем системы, охватываемые теоремой Лангранжа — Дирихле.

Аналогами потенциальных функций в потециальном поле являются функции Ляпунова достигающие минимума в начале координат. Поверхности уровня как и

эквипотенциальные поверхности, являются замкнутыми, причем поверхность с меньшей величиной с лежит внутри поверхности с большей величиной с. При определенной таким образом функции Ляпунова теорема об устойчивости невозмущенного движения или процесса может быть сформулирована следующим образом: если существует дифференцируемая функция Ляпунова достигающая минимума в начале координат и имеющая в окрестности начала координат вдоль всякой интегральной кривой (фазовой траектории) отрицательную производную, то невозмущенное движение устойчиво.

Требование отрицательности производной функции Ляпунова вдоль фазовой траектории означает, что с возрастанием функция V убывает, т. е. траектория пересекает поверхности уровня располагающиеся все ближе и ближе к Началу координат. Если фазовая траектория пересекла некоторую поверхность уровня, то с течением времени она уже не выйдет вновь за ее пределы.

Убывание V вдоль интегральных кривых означает устойчивость, но не асимптотическую устойчивость, так как интегральные кривые 1 могут приближаться в этом случае не к началу координат, а к некоторой поверхности уровня 2 (рис. 17-3,а). Для того чтобы система была асимптотически устойчивой, необходимо еще, чтобы при (рис. 17-3,б).

Изложенное составляет содержание двух теорем Ляпунова, относящихся к его прямому методу.

Рис. 17-3. Фазовые траектории устойчивой (а) и асимптотически устойчивой (б) систем.

Для их более строгой формулировки приведем принятую терминологию, связанную с определением свойств функции

Функция V называется знакопостоянной, если она, кроме нулевых значений в отдельных точках пространства, всюду в области имеет один и тот же знак. Знакопостоянную функцию V, принимающую нулевое значение только в начале координат, называют знакоопределенной и, если нужно указать на знак, — соответственно определенно положительной или определенно отрицательной. Функция V, имеющая разные знаки в области окружающей начало координат, называется знакопеременной. Теперь можно привести текст двух теорем Ляпунова [17-1].

Теорема 1. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что можно найти знакоопределенную функцию V, полная производная которой

была бы в силу этих уравнений знакопостоянной функцией противоположного знака с V или тождественно равнялась нулю, то яевозмущенное движение устойчиво.

Теорема 2. Если дифференциальные уравнения возмущенного движения таковы, что можно найти знакоопределенную функцию V, полная производная которой была бы в силу этих уравнений знакоопределенной функцией противоположного знака с V, то возмущенное движение устойчиво асимптотически.

Какие-либо общие рекомендации по выбору функции Ляпунова отсутствуют. В каждом конкретном решении задачи требуются свои приемы для выбора функций Ляпунова.

Широкое применение прямого метода Ляпунова для исследования устойчивости нелинейных систем автоматического регулирования было положено работами А. И. Лурье [17-2]. Лурье рассматривал класс систем регулирования с регулятором» работающим по закону типа с любьим видом

нелинейной характеристики серводвигателя Для этого типа задач А. И. Лурье указал метод (выбора функций Ляпунова и на основе их дал метод выбора параметров регулятора, обеспечивающих «абсолютную устойчивость» системы.

Прямой метод Ляпунова дает возможность получить достаточные условия устойчивости. Это означает, что невыполнение этих условий в какой-то степени еще вовсе не будет означать неустойчивости системы. Достаточные условия определяются видом функций Ляпунова. Неудачный выбор функций Ляпунова может привести к излишним и слишком жестким требованиям к параметрам системы для обеспечения устойчивости.