г) Оценка качества по амплитудным логарифмическим характеристикам. Минимально-фазовые системы

Как ранее уже отмечалось, минимально-фазовыми системами называются системы, передаточные функции которых не имеют нулей и полюсов в правой полуплоскости. Наличие нулей, полюсов в правой полуплоскости делает систему неминимально-фазовой. Система остается минимально-фазовой, если часть ее нулей И полюсов расположена на нимой оси, а остальные нули и полюсы находятся слева от мнимой оси. Разъясним эти понятия. Пусть, например, передаточная функция имеет один вещественный положительный нуль

В этом случае передаточную функцию можно представить в виде:

где многочлены, не имеющие нулей в правой полуплоскости,

Передаточная функция не имеет ни нулей, ни полюсов в правой полуплоскости. Амплитудные характеристики

совершенно одинаковы, так как амплитудная характеристика

Фазовая характеристика, определяемая множителем равна:

Следовательйо, при равных модулях имеют различные аргументы или фазы. Как видно, фаза больше фазы При этом отличается от только тем, что нуль, равный по величине в одном случае находится в левой полуплоскости, а во втором — в правой. Таким образом, перемещение нуля из левой полуплоскости в правую приводит к увеличению аргумента или фазы. Такое же увеличение фазы будет наблюдаться при перемещении полюсов в правую полуплоскость. Из этого вытекает, что минимальной фазой из всех функций с одинаковым модулем будут обладать функции, не имеющие ни нулей, ни полюсов в правой полуплоскости.

Для минимально-фазовых систем характерна однозначная связь между отдельными видами частотных характеристик.

Рис. 10-29. Структурная схема (а), ЛАХ (б) и переходная функция (в) системы с

Однозначная связь между вещественной и мнимой частотными характеристиками видна, в частности, из формул (10-76) и (10-77) для переходной функции Или, например, если известна логарифмическая амплитудная характеристика и ее ломаная асимптота, то этим самым для минимально-фазовой системы полностью определяется передаточная функция, а следовательно, и фазовая характеристика. Последнее соображение и дает основание оценить качество процесса регулирования только по одним амплитудным логарифмическим характеристикам разомкнутой системы.

Рассмотрим сначала связи между переходными функциями и амплитудными логарифмическими характеристиками для самых элементарных систем первого и второго порядков (рис. 10-29 и 10-30). Обе системы в разомкнутом состоянии содержат одно интегрирующее звено.

Для системы первого порядка частота среза равна коэффициенту усиления К и равна, следовательно, где постоянная времени экспоненты переходной функции замкнутой системы.

Для системы первого порядка время регулирования выражается через частоту среза следующим образом:

Для системы второго порядка при (рис. 10-30,а) затухание колебаний в замкнутой системе будет всегда меньше 0,5, при затухание равно 0,5 и при затухание больше 0,5. При оптимальном коэффициенте затухания 2/2 отношение частот равно 2,0. Чем больше тем выше коэффициент затухания, тем ближе переходная функция к экспоненте с постоянной времени При время регулирования в системе второго порядка достаточно точно определяется формулой (10-85), а перерегулирование практически отсутствует. Еще один

важный вывод относительно течения амплитудной логарифмической характеристики: для того чтобы переходная составляющая не была колебательной (затухание ), частота среза должна приходиться на участок с наклоном . Этот важный вывод распространяется и на более сложные корректированные системы. В таких системах логарифмические характеристики имеют в области средних частот наклон -20 дб/дек, а в области низких и высоких частот значение отрицательных наклонов может быть и больше

Для получения приемлемых показателей переходной функции частота среза должна приходиться на участок с наклоном -20 дб/дек и ширина этого участка не должна быть Меньше определенной величины. Чем шире участок с наклоном -20 дб/дек, тем ближе переходная функция к экспоненте. Частота среза в этом случае обратно пропорциональна постоянной времени экспоненты.

На рис. 10-31 приведена типовая асимптотическая логарифмическая характеристика для системы с одним интегрирующим звеном и с наклоном в области средних частот -20 дб/дек. Логарифмическая характеристика определяется коэффициентом усиления К, тремя частотами сопряжения и частотой среза . В общем случае типовой логарифмической характеристике соответствует передаточная функция разомкнутой системы

показатели степени зависят от наклонов логарифмической характеристики на участках соответственно.

Рис. 10-30. Структурная схема (a), ЛАХ (б) и переходные функции (в) системы с

При наклоне на участке равном при наклоне и т. д. То же самое при наклоне на участке при

Количественную связь между показателями качества процесса регулирования и параметрами типовой логарифмической характеристики можно получить с помощью номограмм Честната — Майера [Л. 10-10] и номограмм В. В. Солодовникова [Л. 2-4]. Номограммы Честната-Майера (приложение II) позволяют по параметрам логарифмической характеристики определить величину резонансного пика и резонансную частоту амплитудной характеристики замкнутой системы , время регулирования время первого максимума величину этого максимума и круговую частоту колебаний переходной функции

Рис. 10-31. Графики типовой асимптотической ЛAX (а), частотной характеристики (б) и переходной функции (в).

около установившегося значения. Графики амплитудной характеристики и переходной функции с упомянутыми параметрами приведены на рис. 10-31,б. Номограммы Солодовникова по тем же параметрам логарифмической характеристики дают - возможность определить запас устойчивости по фазе у» максимальное значение второй производной переходной функции и первые два коэффициента ошибок Заметим, что задание равноценно заданию Увеличение при постоянном увеличивает т. е. сокращает., участок с наклоном -20 дб/дек. То же самое сокращение участка с наклоном -20 дб/дек происходит при увеличении и при уменьшении Номограммы Честната — Майера и Солодовникова даны для систем с передаточной функцией (10-86), когда в разных сочетаниях комбинируются значения

Номограммы используются и при передаточных функциях вида:

где постоянные Т убывают в следующем порядке: При использовании номограмм самыми малыми постоянными времени пренебрегают, а взамен каждых двух звеньев с близлежащими постоянными образуются звенья второго порядка с постоянной

Тем самым передаточная функция (10-87) приводится к виду (10-86).

Передаточная функция (10-87) может содержать также колебательные звенья с затуханием не ниже Номограммы можно использовать также при передаточных функциях вида:

как в этом случае то рекомендуется для использования номограмм взять дб, При таком значении а значение как раз будет равно дб.

Номограммы можно использовать также для оценки переходных

Рис. 10-32. Типовые логарифмические характеристики систем без интегрирующих (0), с одним интегрирующим (1) и с двумя интегрирующими (2) звеньями в одноконтурной схеме.

функций статических систем (без интегрирующих звеньев) и дважды астатических систем (систем с двумя интегрирующими звеньями в одноконтурной схеме). Типовые логарифмические характеристики систем без интегрирующих звеньев, с одним интегрирующим звеном и с двумя интегрирующими звеньями отличаются друг от друга только в низкочастотной части (рис. 10-32), поэтому использование номограмм, построенных для систем с одним интегрирующим звеном, оправдано и в обоих крайних случаях. При двух интегрирующих звеньях, когда наклон при частотах, меньших равен -40 дб/дек, рекомендуется брать определять из условия, что .

Для некоторого расширения сведений о связи переходной функции с частотными характеристиками разомкнутой системы на рис. 10-33,а, б, в приводятся логарифмические амплитудные и фазовые характеристики систем со стандартными коэффициентами уравнений (см. § 10-4),