2-8. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

а) Общие сведения о частотных характеристиках

Для получения частотных характеристик необходимо найти частное решение неоднородного уравнения звена при входной функции

где комплексная величина, которая на комплексной плоскости может быть изображена в виде вектора (рис. 2-15).

Модуль комплексной величины это амплитуда входных гармонических колебаний.

Аргумент комплексной величины (или ее фаза) это угол между вектором и вещественной осью, отсчитываемый против часовой стрелки. Отсчет ведется от положительной вещественной полуоси.

В данном случае нарастает по линейному закону в функции времени. Поэтому вектор вращается с постоянной угловой скоростью

Установившиеся колебания выходной величины линейной

Рис. 2-15. Представление входного и выходного сигналов в виде векторов на комплексной плоскости.

передающей системы будут гармоническими колебаниями той же частоты что и частота входных колебаний Математически это означает, что частное решение уравнения системы ищется в форме входной функции

Вектор вращается с угловой скоростью (рис. 2-15), имеет отличную от амплитуду и смещен по отношению к на некоторый угол (фазу) -Определение рассмотрим на примере уравнения колебательного звена

Частное решение ищется в форме

где Заметим, что

Подстановка искомого частного решения в уравнение дает:

откуда

Отношение

называют комплексным коэффициентом усиления, комплексным коэффициентом передачи, амплитудно-фазовой характеристикой. В настоящей книге будет называться амплитудно-фазовой характеристикой. В данном случае

Как видно, амплитудно-фазовая характеристика получается из передаточной функции заменой символа D (или числа мнимым числом

Рис. 2-16. К определению амплитудно-фазовой характеристики системы (звена).

Для общего уравнения линейной системы получим:

Функция может быть записана в показательной форме:

где модуль равный отношению модулей или амплитуд выходного и входного колебаний (рис. 2-16):

Функция называется амплитудной частотной характеристикой элемента (звена) или системы.

Аргумент который обозначим равен разности аргументов или углу между этими векторами (рис. 2-15):

Функция при данной частоте представляет собой разность фаз входного и выходного колебаний (рис. 2-16) и называется фазовой частотной характеристикой элемента (звена) или системы.

Поскольку дробно-рациональная функция, то ее модуль равен отношению модулей числителя и знаменателя

где вещественная часть мнимая часть вещественная часть мнимая часть

Точно так же фазовая характеристика является разностью аргументов числителя и знаменателя

или

Представление комплексной величины в показательной форме дало две характеристики: амплитудную и фазовую. Представление комплексной в алгебраиче-, ской форме дает еще два вида частотных характеристик

вещественная частотная характеристика; мнимая частотная характеристика

Очевидна связь

Широко применяется графическое построение функции в комплексной плоскости

Рис. 2-17 Пример амплитудно-фазовой характеристики.

При изменении частоты от до (или более общее: от до вектор изменяется по модулю и поворачивается, поскольку его аргумент также зависит от частоты. В результате конец вектора опишет кривую, которая является годографом, амплитудно-фазовой характеристикой звена или системы. Выражения (2-60) и (2-61) представляют собой уравнения этого годографа в параметрической форме в декартовых координатах (выражения для параметрические уравнения годографа в полярных координатах).

На рис. 2-17 показан примерный характер амплитудно-фазовой характеристики при

В этом случае Амплитудно-фазовая характеристика снабжается частотными отметками и стрелками, указывающими возрастание частоты Заметим, что четная (2-60) функция со, а нечетная (2-61); поэтому, если построить годограф для отрицательных значений частот от до то он окажется зеркальным изображением годографа при положительных частотах относительно вещественной оси.