в) Гармоническая линеаризация и критерии устойчивости линейных систем

В описанном приеме исследования трудно определить влияние параметров линейной части системы на устойчивость.

Гораздо удобнее для этих целей использовать все критерии и методы исследования устойчивости линейных систем. Действительно, в случае автоколебаний гармонически линеаризованная система находится на границе устойчивости А. Выражение (17-93) дает основание обращаться с или как с параметрами линейной системы, принимающими различные значения. Если найдутся такие значения или при которых линеаризованная система оказывается на границе устойчивости, то в системе возможны автоколебания.

Использование критерия Гурвица. Запишем характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы:

или

Система находится на границе колебательной устойчивости, если предпоследний определитель Гурвица равен нулю. Поэтому для исследования автоколебаний составляют предпоследний определитель Гурвица и приравнивают его нулю. Из этого условия определяют значение По графику находят амплитуды автоколебаний и отбирают устойчивые. Частота автоколебаний определяется как значение пары мнимых сопряженных нулей характеристического - полинома при найденном Заметим, что при исследовании устойчивости нелинейной системы могут встретиться следующие случаи: 1) ни при каком значении система не выводится на границу устойчивости; в этом случае нелинейная система устойчива «абсолютно» независимо от вида нелинейной характеристики; 2) при любом линейная система неустойчива независимо от вида нелинейной характеристики и, наконец, 3) систему можно сделать устойчивой за счет деформации нелинейности или изменения параметров линейной части.

Использование метода Эванса. Этот метод позволяет строить траектории корней характеристического уравнения при изменении параметра или При построении траекторий корней сразу выявляется значение при котором пара комплексных сопряженных корней оказывается на мнимой оси, и частота автоколебаний как значение этих корней.

Использование критерия Михайлова. Строят серию годографов Михайлова для различных значении Если найдется такое значение при котором годограф проходит через начало координат, то в системе возможны автоколебания на частоте, при которой годограф пересекает начало координат. Определение амплитуд автоколебаний производится так же, как и в предыдущих случаях. Если число комплексное, т. е.

где вещественные функции А, то годограф Михайлова следует строить не для заданного значения а для заданного значения

Использование метода D-разбиения и критерия устойчивости Найквиста. В этом случае необходимо строить границу области устойчивости (кривую D-разбиения) или в плоскости комплексного параметра или в плоскости комплексного параметра Во втором случае границей D-разбиения является годограф

Рис. 17-40. Исследование устойчивости методом Гольдфарба. а — нелинейность типа ограничение; нелинейность типа нечувствительность.

амплитудно-фазовой характеристики линейной части системы . В первом случае границей -pазбиения служит годограф отрицательного значения обратной амплитудно-фазовой характеристики — (При всех значениях в первом случае и во втором, находящихся в области устойчивости, система устойчива. При всех значениях и находящихся в области неустойчивости, система соответственно неустойчива. Пересечение границы области устойчивости в нервом случае с годографом а во втором — с годографом указывает на существование автоколебаний. Точка пересечения сразу показывает амплитуду и частоту автоколебаний, поскольку граница области устойчивости снабжается частотными отметками, а годографы или амплитудными.

Исследование устойчивости нелинейных систем путем -разбиения по параметру когда приходится иметь дело с хорошо известным годографом амплитудно-фазовой характеристики было предложено Гольдфарбом. Этот метод исследования известен под названием метода Гольдфарба.

На рис. 17-40 приведены примеры области устойчивости в плоскости комплексных параметров для нелинейностей «ограничение» (рис. 17-35,д) и «нечувствительность» (рис. 17-35, е).

При этих нелинейностях вещественны, поэтому все возможные значения и располагаются на вещественной оси. Как уже указывалось, при -разбиеции по параметру границей области устойчивости служит годограф амплитудно-фазовой характеристики линейной части при D-разбиении по параметру годограф функции — Точка пересечения или указывает на существование автокодебакий.

Оценим устойчивость автоколебаний. Уравнения (17-95) записываются для малых отклонений от периодического режима:

где

— периодическая функция, поскольку При этом -амплитуда и — частота автоколебаний, определяемые в точках пересечения границы -разбиений с или

Для исследования устойчивости автоколебаний возьмем среднее за период значение

После интегрирования имеем:

Величина берется три амплитуде А, соответствующей точке пересечения границы D-разбиения и прямой следовательно, постоянна: Поэтому анализ устойчивости автоколебаний «сводится к исследованию устойчивости линейной сиетемы, описьгваемой уравнениями (17-102) с постоянными коэффициентами, с помощью уже построенной границы -разбиения. Автоколебания устойчивы, если параметр лежит в области устойчивости, и соответственно неустойчивы, если оказывается вне ее.

Для зоны нечувствительности (рис. 17-35,е) или имеет положительную производную, поэтому Следовательно, оказывается в области устойчивости (рис. 17-40,б) и автоколебания, порождаемые зоной нечувствительности, в системе с частотными характеристиками, приведенными на рис. 17-40, устойчивы. Напротив, для нелинейности «насыщение» производная отрицательна, оказывается меньше и автоколебания оказываются неустойчивыми. Неустойчивые колебания существовать не могут. Поэтому в такого рода системе при ограниченной области (начальных отклонений колебания будут затухать и система, следовательно, будет устойчивой, а при некоторых больших начальных отклонениях колебания в системе будут нарастать безгранично. Система оказывается устойчивой в «малом» и неустойчивой в «большом».

Устойчивость автоколебаний оценивается весьма просто, когда на годографах или стрелками указаны направления возрастания амплитуд А. Из выражения для в этом случае вытекает правило: если в точках пересечения или годографы входят в область устойчивости, очерченную то автоколебания устойчивы; если же годографы выходят из области устойчивости, то автоколебания неустрйчивы.

В самом деле, автоколебания устойчивы, если при увеличении амплитуды А величина окажется в области устойчивости, ограниченной годографом поскольку в этом случае колебания будут затухать до автоколебаний. Поэтому такое пересечение годографом при котором он из области неустойчивости входит в область устойчивости, и будет означать устойчивые колебания. Обратное же направление годографа в точке пересечения означает неустойчивость автоколебаний. Аналогичные рассуждения можно привести относительно годографов

Можно сказать еще и так, что автоколебания устойчивы, когда годограф [в более общем случае ] пересекает со стороны незаштрихованной ее области, и, наоборот, неустойчивы, когда пересекает со стороны заштрихованной ее области. Заметим, что обычно при исследованиях используют годографы

На рис. 17-41 и 17-42 приведено несколько примеров определения автоколебаний и их устойчивости путем построения годографов Там же отмечены амплитуды устойчивых и неустойчивых автоколебаний. Из рис. 17-41,б видно, как можно сделать систему устойчивой (устранить автоколебания). Это, очевидно, можно сделать двумя путями: повышением запаса устойчивости линейной части (пунктирная кривая) или деформацией релейной характеристики путем увеличения отношения

Использование логарифмических частотных характеристик. Для

Рис. 17-41. Определение автоколебаний методом Гольдфарба неустойчивые автоколебания; устойчивые автоколебания).

исследования устойчивости нелинейных систем на основе критерия Найквиста можно использовать также логарифмические частотныё характеристики линейной системы. На рис. 17-43 приведены логарифмические. характеристики, соответствующие годографу амплитудно-фазовой характеристики, изображенному на рис. l7-42. При нелинейностях «нечувствительность» и «насыщение» пересечение фазовой характеристикой линии указывает на частоты автоколебаний

При этих частотах для нёлинейности «насыщение» находим:

и

и соответственно для нелинейности «нечувствительность»

и

Устойчивость автоколебаний определяется по следующему признаку: автоколебания, устойчивы, если увеличение амплитуды (или а) делает систему устойчивой, и неустойчивы, если увеличение амплитуды приводит систему к неустойчивости. На рис. 17-43 автоколебания ом устойчивы для нелинейности «насыщение» и неустойчивы для нелинейности «нечувствительность». Наоборот, автоколебания частоты неустойчивы для нелинейности «насыщение» и устойчивы для нелинейности «нечувствительность».

С помощью логарифмических характеристик удобно проводить синтез системы с учетом влияния нескольких нелинейностей и, в частности, осуществлять компенсацию влияния одних нелинейностей за счет введения других в какие-либо места контура. Этот последний вопрос поясним на одном из примеров. (На рис. 17-44,а приведена структурная схема стабилизации угла крена самолета у автопилотом с жесткой обратной связью. Автоколебания в системе могут быть порождены мертвым ходом золотника а гидравлического сервомотора. Запишем частотную характеристику автопилота (контура, замкнутого обратной связью ) с учетом передаточной функции нелинейного элемента:

Рис. 17-42. Пример определения автоколебаний неустойчивые автоколебания; устойчивые автоколебания).

Рис. 17-43. Анализ устойчивости нелинейных систем по логарифмическим характеристикам линейной части.

где

Частотная характеристика автопилота представляет собой частотную характеристику инерционного звена с постоянной времени, зависящей от амплитуды А.

Рис. 17-44. (см. скан) а — структурная схема системы стабилизации угла крена самолета; б - логарифмические характеристики системы стабилизации крена.

Запишем передаточную функцию разомкнутой системы для случая

где Из (17-103а) видно, что при малых А, когда велико, система при данном К может потерять устойчивость.

На рис. 17-44, б в соответствии с (17-103а) построены амплитудные и фазовые логарифмические характеристики для При

что соответствует случаю, когда нелинейность в автопилоте отсутствует . В этом случае система хотя и не обладает большим запасом устойчивости, но все же устойчива (запас устойчивости — 3 дб). При согласно течению логарифмических характеристик система неустойчива. На рис. 17-45,а приведен переходный процесс для линейной системы а на для нелинейной системы Переходный процесс в случае заканчивается автоколебаниями.

Предположим далее, что переходный процесс, изображенный на рис. 17-45,а, несмотря на малый запас устойчивости, удовлетворяет, необходимым требованиям и недопустимы лишь автоколебания, порождаемые нелинейностью «нечувствительность». Рассмотрим два способа подавления автоколебаний в данной схеме.

Рис. 17-45 Переходные процессы в линейной (а) и нелинейной (б) системах стабилизации крена.

Способ 1. В рхему вводится скоростной гироскоп, сигнал которого подаётся через нелинейный элемент «насыщение». В этом случае передаточная функция разомкнутой системы (для сигнала будет иметь вид:

где порция сигнала скоростного гироскопа; передаточная функция нелинейного элемента «насыщение», включенного в цепь сигнала скоростного гироскопа (рис. 17-44,а).

Из выражения (17-1036) видно компенсирующее действие новой связи, поскольку как возрастает с уменьшением А.

На рис. 17-46 построены логарифмические характеристики.

Рис. 17-46. Логарифмические характеристики системы стабилизации крена при подавлении автоколебаний сигналом скоростного гироскопа.

Переходный процесс для этого случая приведен на рис. 17-47; там же пунктиром для (сравнения показана кривая переходного процесса в линейной системе.

Рис. 17-47. Переходный процесс в системе стабилизации крена при подавлении автоколебаний сигналом скоростного гироскопа.

Рис. 17-48. Логарифмические характеристики системы стабилизации крена при подавлении автоколебаний включением звена "нечувствительность" в основной контур.

Рис. 17-49. Переходный процесс в системе стабилизации крена при подавлении автоколебаний включением звена «нечувствительность в основной контур.

Способ 2. В этом случае нелинейное звено «нечувствительность» включается в основной контур (ТСнгна рис. 17-44,а). Это приводит к уменьшению общего коэффициента усиления при малых амплитудах. Устойчивость достигается благодаря тому, что с ростом постоянной времени одновременно падает и усиление по контуру. Логарифмические характеристики для этого способа подавления автоколебаний приведены на рис. 17-48, а переходный процесс — на рис. 17-49.