10-5. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ И ПЕРЕХОДНЫЕ ФУНКЦИИ

а) Преобразование Фурье

Непосредственная количественная взаимная связь между временными и частотными

Таблица 10-4 (см. скан)

Таблица 10-5 (см. скан)

Рис. 10-19, Графики переходных функций при распределении корней по арифметической прогрессии.

Рис. 10-20. Графики переходных функций при распределении корней по геометрической прогрессии.

характеристиками дается преобразованиями Фурье. Так называемые односторонние преобразования Фурье есть частный случай преобразований Лапласа: функции в функцию и обратно

При осуществлении операции интегрирования (10-68а) независимая переменная меняется вдоль прямой, параллельной мнимой оси, на расстоянии с от нее так, чтобы все полюсы были левее этой линии.

Если все полюсы лежат левее мнимой оси, и следовательно,

то можно положить а параметр положить равным Преобразование Лапласа превращается в этом случае в одностороннее преобразование Фурье

Для линейных передающих систем пробразования (10-69) и (10-70) дают связь между частотной характеристикой, например и импульсной переходной функцией при условии, что эти системы устойчивы, т. е. все полюсы лежат левее мнимой оси.

Если все полюсы лежат левее мнимой оси, то состоит из суммы убывающих экспонент и экепоненциально затухающих гармонических колебаний. Площадь под кривой каждой из этих компонент — величина конечная, следовательно, конечна площадь под всей кривой Иными словами,

Условие (10-71) называется условием абсолютной интегрируемости функции Оно равноценно требованию размещения полюсов левее мнимой оси и, следовательно, только при выполнении условия (10-71) возможно использование преобразований Фурье (10-69), (10-70). Если в (10-71) то (10-71) можно рассматривать как условие устойчивости.

Преобразования Фурье применимы для двусторонних функций времени -функций, определенных не только для но и для . В этом случае сами преобразования называются двусторонними. При двустороннем преобразовании в интеграле (10-69) нижний предел берется Интеграл (10-70) остается прежним. Двустороннее преобразование применимо к абсолютно интегрируемым функциям т. е. к функциям, удовлетворяющим условию

аналогичному (10-71) для односторонних функций;

Укажем на связь, которая существует между интегралом Дюамеля

и интегралом Фурье. В приведенном выражении интеграла Дюамеля

— импульсная переходная или весовая функция; входной сигнал системы; выходной сигнал системы;

— частотная характеристика системы. Для вычисления с помощью интеграла Дюамеля установившегося режима следует верхний предел положить равным бесконечности

Рассмотрим случай гармонического воздействия, когда . В этом случае для установившегося режима

или

полученный результат хорошо известен.

Интегралы (10-69) и (10-70) можно представить в вещественной форме. Представление интеграла (10-70) в вещественной форме позволяет, в частности, вычислить импульсную переходную функцию замкнутой системы по вещественной или мнимой частотным характеристикам замкнутой системы [Л. 2-4].

Воспользуемся интегралом (10-70) для вычисления по тем же

характеристикам переходной, функции Поскольку, однако, не удовлетворяет условию (10-71) и ее изображение имеет полюс на мнимой оси, непосредственное применение, (10-70) невозможно. Мбжно использовать интеграл (10-70) для вычисления переходной составляющей ошибки

которая удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости. Заметим при этом, что так как Используя (10-70) и (10-73), запишем выражение для переходной функции в следующем виде:

Так как

а

то

Подынтегральная функция первого интеграла четна, поэтому можно нижний предел взять равным нулю и удвоить значение интеграла, Под интегральная функция второго интеграла нечетная, поэтому интеграл обращается в нуль (иначе не может быть, так как вещественная функция). Таким образом,

Последний интеграл равен поэтому

В правой и левой частях изменим знак Поскольку то

Складывая (10-74). и (10-75), получаем выражение для через мнимую частотную характеристику

После вычитания (10-75) из (10-74) получают выражение для через вещественную частотную характеристику