г) Описание процесса в релейной системе разностным уравнением. Устойчивость автоколебаний

Уравнение (17-43) позволяет, зная некоторое значение модуля амплитуды у при переключении реле, вычислить величину при следующем переключении реле. Иными словами, следовательно, из (17-43) получаем нелинейное разностное уравнение первого порядка

Графическое решение этого уравнения является диаграммой точечных преобразований (рис. 17-14). Далее, поскольку предполагается, что автоколебания имеют место, то

т. е. автоколебания устанавливаются через бесконечно большое число переключений реле.

Рис. 17-15. Определение устрочивости автоколебаний по критерию (17-53). а и в — неустойчиёый автоколебательный режим; б и г - устойчивый автоколебательный режим.

Амплитуды автоколебаний суть частное решение уравнения (17-49); они характеризуют режимы автоколебаний и являются корнями уравнения

Запишем (17-49) в отклонениях от исследуемого установившегося режима. Пусть

где отклонения от Тогда

Чем ближе к равновесному режиму, тем меньше величины отклонений Разложим в ряд по степеням Ограничиваясь ввиду малости отклонений линейным приближением рядов и учитывая уравнение равновесного состояния (17-51), получим разностное уравнение первого приближения

или

где

представляют собой наклоны касательных к кривым функций точечных преобразований в точке пересечения Из вытекает условие устойчивости автоколебаний:

или

Согласно этому критерию автоколебания в случае, приведенном на рис. 17-14, устойчивы. На рис. 17-15 приведены различные варианты поведения кривых иллюстрирующие применение критерия