д) Примера исследования автоколебаний релейных систем второго порядка

Пример 1. Пусть в уравнении (17-33) - релейная функция с зоной нечувствительности (табл. 16-12, поз. 3) и постоянным запаздыванием (На этот промежуток времени реле опаздывает включить двигатель при увеличении х до величины а и опаздывает отключить двигатель при уменьшении х также до величины а.

На фазовой плоскости (рис. 17-16) нанесены прямые Первая прямая при является линией включения реле, а при линией отключения, вторая — при линией отключения и при линией включения.

Для исследования характера возможных движений системы рассмотрим преобразование линии отключения в линию отключения

Фазовая траектория при (рис. 17-16) будет протекать следующим образом: участок определяется выражением (17-38) при Если бы не было запаздывания то в точке реле отключилось бы и х обратилось бы в нуль. Однако, поскольку реле опаздывает на это отключение произойдет только в точке Начиная с точки изображающая точка попадает в область а двигатель — в режим динамического торможения. При уравнение фазовых траекторий (17-38) вырождается в уравнение прямых

Скорость двигателя при этом снижается по экспоненте

Отклонение также изменяется по экспоненте

Рис. 17-16. Фазовая траектория системы с зоной нечувствительности и постоянным запаздыванием.

Без запаздывания включение реле и переход в режим торможения противотоком произошли бы на линии включения однако в результате запаздывания это происходит в точке Далее, начиная с точки траектория строится по (17-38) при

Запаздывание приводит к смещению точек отключения и включения вправо по ходу изображающей точки. Можно показать, что линиями переключения будут прямые наклоненные тем больше вправо, чем больше запаздывание

Таким образом, преобразование само состоит из последовательных преобразований где преобразование полупрямой в наклонную преобразование наклонной в наклонную наконец, преобразование наклонной в полупрямую

Начнем с преобразования Оно дается (17-38) при

Преобразование осуществим по формулам (17-54) и (17-55):

где неизвестное пока время перемещения изображающей точки из

Для преобразования используем (17-35) и (17-38) при

Исключив из формул преобразований найдем:

Отрезок времени равен, очевидно, времени, в течение которого координата х находится в зоне нечувствительности; т. е. При этом или (случай, приведенный на рис. 17-16) или Для случая можно написать:

откуда

Из (17-57) и (17-58) находим формулу преобразования

Функция имеет тот же вид, что и в преобразовании (17-40). Ее первая и вторая производные отрицательны при Ее значения:

Рис. 17-17. Исследование автоколебаний релейных систем второго порядка методом точечных преобразований.

Когда безразмерные величины имеют один и тот же порядок, то функция имеет также обе производные, меньшие нуля, но выгнута вверх значительно меньше, чем Далее, поскольку может быть и больше и меньше в зависимости от соотношения кривые и могут не пересекаться (при больших а), пересекаться один раз или пересекаться дважды.

На рис. 17-17 для примера построены кривые функции для и трех значений а: 0,35; 0,25 и 0,15. Как видно, при автоколебаний нет. Отрезок покоя на оси абсцисс фазовой плоскости а является устойчивым положением равновесия при любых начальных условиях. При кривые пересекаются в двух точках: соответствии с критерием устойчивым автоколебаниям соответствует точка пересечения Точка соответствует неустойчивому режиму автоколебаний, который в реальной системе существовать не может. Система с имеет жесткий режим возбуждения автоколебаний. Если начальные условия таковы, что первое лересечение фазовой траекторией линий отключения или произойдет при где значение у на линии, отключения при неустойчивом предельном цикле, то колебания будут затухать, и система окажется в состоянии покоя: и . Если же первое пересечение фазовой траекторией линий отключения произойдет при то колебания будут нарастать до устойчивых автоколебаний. При первом после начальных условий у на линии отключения, большем где значение у на линиях отключения при устойчивом автоколебательном режиме, колебания будут затухать до устойчивых автоколебаний. На рис. 17-18 показана фазовая картина движения системы при когда имеет место жесткий режим возбуждения автоколебаний, так же как и при При начальных условиях Хоз. автоколебания не возбуждаются и положение равновесия устойчиво. При начальных условиях автоколебания возбуждаются и положение равновесия оказывается неустойчивым. Таким образам, в рассмотренной системе положение равновесия устойчиво только в «малом» и неустойчиво в «большом».

Если при то положение равновесия станет устойчивым в «большом», поскольку при любых начальных условиях фазовые траектории стремятся к отрезку покоя.

При кривые пересекаются один раз. В системе возможен только один устойчивый цикл автоколебаний. Автоколебания возбуждаются при сколь угодно малом выходе начальной изображающей точки из области ограниченной сторонами прямоугольника (рис. 17-l9). В этом смысле можно

Рис. 17-18. Фазовые траектории при жестком, режиме возбуждения автоколебаний.

Рис. 17-19. Фазовые траектории при мягком режиме возбуждения автоколебаний.

говорить, что система обладает мягким режимом возбуждения автоколебаний. (Начальные отклонения, принадлежащие области А, нетипичны для следящей системы. При начальных условиях, принадлежащих А, фазовые траектории сразу попадают на отрезок покоя, без последующего включения реле).

Об амплитуде автоколебаний можно судить по какому-либо из характерных параметров. В качестве такого параметра возьмем скорость у при Обозначим это значение Нехарактерный параметр автоколебаний при вычисляется по формуле (17-59), если положить

Рис. 17-20. График параметра

На рис. 17-20 приведены функции вычисленные по (17-60). Кривая при вычислялась по формуле

полученной из (17-57) при Формулы для вычисления при можно найти в [Л. 17-7].

Пример 2. Рассмотрим гидравлическую следящую систему (рис. 16-14 и 16-15) без корректирующей обратной связи Возьмем случай, когда нелинейный элемент между первым и вторым интегрирующими звеньями отсутствует. Свободные колебания такой системы при очевидно, будут описываться уравнением

Изменим масштаб независимой переменной. Введем Опустив черточку над х, получим уравнение в нормированной форме:

где

Обозначив в связи с этим получим два уравнения первого порядка:

Дифференциальное уравнение фазовых траекторий будет:

интегрируя, [получим уравнение фазовых траекторий

Интегрирование уравнений (17-62) дает законы изменений отклонения и скорости в пределах каждого участка:

При скорость изменяется по линейному закону, отклонение — по параболическому. При скорость постоянна, а отклонение изменяется по линейному закону.

На рис. 17-21 построено семейство фазовых траекторий. При фазовые траектории — параболы. нечувствительности) фазовые траектории — прямые, параллельные оси абсцисс. Любая фазовая траектория при любых начальных условиях оказывается замкнутой, так как параболы симметричны относительно оси х, а снижения скорости в зоне нечувствительности не происходит. Полученная фазовая картина — картина консервативной системы. Системе свойственно бесконечное множество периодических колебаний, соответствующих бесконечному множеству начальных условий. Благодаря наличию зоны нечувствительности роль особой точки типа центра играет

Рис. 17-21. Фазовая картина нелинейной консервативной системы.

в данном случае отрезок длины на оси абсцисс. Укажем на различие между линейной и данной нелинейной консервативной системами. У линейной консервативной системы второго порядка колебания скорости и отклонения происходят по синусоидальным законам. В данной нелинейной системе на отдельных участках скорость изменяется <по линейному закону, а отклонение — по параболическому. На рис. 17-22,а и б приведены эти колебания для случаев

Период колебаний в линейной консервативной системе постоянен, и не зависит от начальных условий. В данном случае период колебаний определяется начальными условиями. Например, период колебаний для случая можно определить из уравнения (17-64). Если при скорость а через полпериода она будет равна то период колебаний согласно (17-64) равен Величина же как характерный параметр цикла определяется начальными условиями.

Следящая система, рассмотренная в первом примере, без корректирующих цепей всегда может (быть сделана устойчивой путем увеличения зоны нечувствительности реле. Устойчивость (приобретается за счет потери точности. Следящая система с двумя интегрирующими звеньями, рассматриваемая в этом примере, никакими средствами не может быть сделана устойчивой без цепей коррекции.

Ничего не меняет в смысле устойчивости учет зоны нечувствительности между интегрирующими звеньями (рис. 16-15). Уравнения свободных колебаний следящей системы в этом случае будут иметь вид:

где х и у — выходы второго и первого интегрирующих звеньев соответственно; релейная функция и нелинейная функция «нечувствительности» (табл. 16-1, поз. 2).

Уравнения (17-66) в новых переменных примут вид:

где или имеет наклош — 1 в области пропорциональности.

Обозначим нечувствительность релейной функции а функции Для области, где справедливы уравнения (17-62), а для области, где уравнения примут другой вид:

Следовательно, в областях, где фазовые траектории будут отрезками парабол. В области фазовые траектории, как и в предыдущем случае, — прямые, параллельные оси абсцисс. Теперь обратимся к области При но так как при этом то при фазовыми траекториями будут прямые, параллельные оси у. Если же то Следовательно, область внутри прямоугольника со сторонами около начала, координат есть область покоя (рис. 17-23). Вне области покоя система по-прежнему остается консервативной.

В заключение заметим, что в реальной, системе консервативный характер движения реализован быть не может Неучтенные запаздывания (например, в релейном усили теле) приведут к тому, что фазовые траектории из замкнутых превратятся в раскручивающиеся спирали, т. е. система будет неустойчивой.

Рис. 17-22. Графики изменения параметров нелинейной консервативной системы.

Рис. 17-23. Фазовая картина нелинейной системы при наличии зоны нечувствительности.