12-2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ СТАЦИОНАРНЫМИ ЛИНЕЙНЫМИ СИСТЕМАМИ

Основная задача анализа систем, находящихся под воздействием случайных возмущающих сил, состоит в определении характеристик колебаний, вызванных случайными возмущениями. Эту задачу можно формулировать как анализ преобразования случайных функций динамическими системами.

В данной главе будем рассматривать лишь прохождение стационарных случайных функций через стационарные линейные системы.

Как ранее отмечалось, стационарной называется система с постоянными параметрами. Реакция стационарной системы на какой-либо сигнал не зависит от момента (возникновения этого сигнала. Иными славами, сдвиг во времени входной величины в стационарной системе вызывает такой же сдвиг во времени выходной величины.

а) Спектральная плотность стационарной случайной функции

Корреляционная функция, как увидим ниже, является достаточной характеристикой для решения задачи прохождения случайной функции через линейную систему.

Однако для стационарных эргодических случайных функций и стационарных систем во многих

случаях удобнее применять другую характеристику - спектральную плотность мощности или, как часто называют, спектральную плотность.

Существуют два основных определения понятия спектральной плотности мощности.

Первое определение связывает спектральную плотность с корреляционной функцией. Спектральной плотностью стационарной случайной функции называется преобразование Фурье корреляционной функции

Корреляционная функция является четной

и

Обратное преобразование выражает корреляционную функцию через спектральную плотность

Наименование «спектральная плотность мощности» связана с тем, что размерность для физических случайных процессов обычно (с точностью до размерности электрического или механического сопротивления) совпадает с размерностью мощности.

Спектральная плотность используется как статистическая характеристика не только одной случайной функции, но и взаимной связи нескольких случайных функций.

Если случайные функции стационарны и стационарно связаны, то их взаимной спектральной плотностью называется преобразование Фурье взаимной корреляционной функции

Второе определение спектральной плотности в большей мере раскрывает физическое содержание этого понятия. Формально это выражение для стационарного эргодического случайного процесса может быть получено следующим образом.

Рассмотрим реализацию случайной эргодической функции на интервале — Вне этого интервала будем полагать Обозначим

Для стационарного процесса

где корреляционная функция. Подставим это выражение в формулу прямого преобразования Фурье

Тогда, меняя порядок интегрирования, находим:

где

где

— комплексная амплитуда гармоники рассматриваемой реализации случайной функции;

— сопряженная ей величина.

Относительную величину квадрата амплитуды гармоники назовем спектральной плотностью мощности реализации функции. Спектральной плотностью мощности случайной функции называется математическое ожидание спектральных плотностей мощностей реализаций этой функции.

Применяя к (12-13) операцию математического ожидания и учитывая, что математическое ожидание интеграла равно интегралу от математического ожидания, получаем:

Но для стационарной случайной функции

Таким образом, устремляя находим:

Приведенные преобразования, не являясь вполне строгими, дают правильный результат.

Спектральная плотность стационарного эргодического процесса, определенная как математическое ожидание спектральных плотностей мощности реализаций, равна (при спектральной плотности, определенной как преобразование Фурье корреляционной функции.

Понятие о спектральной плотности, как о средней величине квадрата амплитуды гармоник, позволяет указать схему измерения спектральной плотности. Пусть имеется источник случайной функции, например шумящий усилитель. Подсоединим к этому источнику узкополосный резонансный фильтр, настроенный на частоту (рис. 12-5). Если фильтр имеет конечно узкую полосу пропускания, то на его выходе по истечении достаточно большого интервала времени (теоретически — бесконечного) выделится гармоника с частотой Выходная величина узкополосного фильтра возводится в квадрат, например, посредством квадратичного детектора (рис. 12-5) и подается на инерционный измерительный прибор Показания инерционного измерительного прибора равны некоторому среднему значению входной величины, т. е. они будут приближенно соответствовать спектральной плотности при . Изменяя резонансную частоту узкополосного фильтра, можно определить кривую спектральной плотности в интересующем нас диапазоне частот.

Спектральная плотность и корреляционная функция, связанные между собой прямым и обратным преобразованиями Фурье, подчиняются обьгчньгм закономерностям» присущим произвольной функции ее спектральному изображению. В частности, чем положе кривая корреляционной функции, тем уже

Рис. 12-5. Схема измерения спектральной плотности.

Рис. 12-6. К определению связи корреляционной функции со спектральной плотностью.

кривая спектральной плотности. "Например, если

где

Соответствующие кривые для изображены на рис. 12-6 {кривые 1 и 2).

Для белого шума корреляционная функция пропорциональна -функции

где и

Таким образом, спектральная плотность белого шума постоянна во всем бесконечном диапазоне частот. Как уже упоминалось, в чистом виде белый шум нереализуем, однако многие физические процессы, в частности тепловые шумы, весьма близки к белому шуму. Спектральная плотность теплового шума остается практически постоянной вплоть до значений, гари которых

где h - постоянная Планка; k - постоянная Больцмана; абсолютная температура.

При кривая спектральной плотности спадает на частотах т. е. в области инфракрасного излучения.

Не только для систем регулирования, но и для наиболее широкополосных электронных систем тепловой шум является белым шумом.

В дальнейшем широко используется соотношение, вытекающее из определений корреляционной функции и спектральной плотности мощности стационарной случайной функции:

Таким образом, средний квадрат стационарной случайной функции пропорционален (коэффициент пропорциональности площади, ограниченной кривой спектральной плотности и осью абсцисс. Это соотношение вытекает из формул

Если случайная функция центрирована, то средний квадрат совпадает с дисперсией и формула принимает вид: