в) Суждение о качестве процессов регулирования по уравнениям первого приближения

Уравнения вида (17-9) возникают, как правило, благодаря нелинейным свойствам объектов автоматического регулирования. При этом представляется возможным судить по уравнениям первого приближения не только об устойчивости нелинейной системы, но и о качестве процессов, так как по своему назначению системы автоматического регулирования не должны допускать существенных отклонений от невозмущенного режима, который ими поддерживается. В связи с этим уравнения первого приближения оказываются весьма подходящим аппаратом для исследования качества процессов регулирования нелинейных систем. Уравнения первого приближения с учетом внешних воздействий записываются следующим образом:

Из уравнений можно найти передаточную функцию для любой координаты по любому воздействию

где — полином D степени получающийся после раскрытия главного определителя (17-13); полином степени равный произведению коэффициента на определитель, полученный из главного путем вычеркивания столбца и строки:

Если необходимо определить закон изменения некоторой координаты при нулевых начальных условиях у при всех то он может быть найден как оригинал изображения

где

начальные условия — значения координат при

Приближенное значение

можно найти по методу В. В. Солодовникова. Для этого необходимо определить вещественную часть выражения после замены на т. е. найти

После построения кривой с помощью трапецеидальных частотных характеристик и таблицы - функций (см. приложение I) находят приближенное значение Изложенный способ определения пригоден только для устойчивой системы, когда все нули полинома расположены левее мнимой оси комплексной плоскости.

Рассмотрим в качестве примера получение уравнения первого приближения двигателей, нелинейное уравнение которых приводилось в гл. 16. [уравнение

Невозмущенным или установившимся режимам работы двигателя считается режим постоянной скорости который возможен при Все возможные невозмущенные значения получаются из решения уравнения статики (17-4):

Это уравнение решается графически. Точки пересечения кривых дают искомые значения На рис. 16-1,а таких точек пересечения одна для каждого значения На рис. где внешняя характеристика асинхронного двигателя, таких точек пересечения две. Это значит, что возможны два установившихся режима со скоростями Одна из целей исследования — установить, который из режимов устойчив и, следовательно, может наблюдаться при работе двигателя без регулятора (регулятор может сделать устойчивым даже неустойчивый режим объекта).

Для составления уравнений первого приближения введем отклонения от исследуемого установившегося режима. Теперь

При составлении уравнения первого приближения учтем, что нагрузка может меняться и тормозной момент поэтому имеет вид:

Изменение нагрузки может, в частности, служить причиной появления отклонений от установившегося режима. В установившемся режиме и

Нелинейные функции представим линейными членами рядов разложения их по степеням

где

Подставим (17-20) в уравнение (16-1) и, учтя, что что получим:

Уравнение (17-22) — линейное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами.

постоянные величины для данного режима работы со скоростью При графическом задании они также определяются графически. тангенс угла наклона касательной к кривой в точке (точка пересечения танганс угла наклона касательной к кривой при в той же точке. танганс угла наклона кривой при в точке

Итак, поскольку зависят от режима работы двигателя, каждой

установившейся скорости вращения будет соответствовать свое уравнение (17-22) для отклонений со своими числовыми значениями коэффициентов.

Уравнение (17-22) обычно принято записывать в нормированной форме.

Первая форма:

Вторая форма:

Здесь безразмерные значения постоянная времени (сек);

— коэффициент самовыравнивания (известен также под названием «статизма», «саморегулирования» и т. п.); не имеющая размерности возмущающая сила; коэффициент усиления двигателя (сек); постоянная времени двигателя (сек).

В качестве базовых значений для. образования безразмерных величин могут быть любые в том числе и паспортные значения, лишь они соответствовали друг другу.

Вопрос об устойчивости того или иного режима определяется в данном случае знаком коэффициента самовыравнивания 8,

1. Положительное самовыравнивание: исследуемый режим устойчив; двигатель как объект регулирования представляет собой инерционное звено.

2. Отрицательное самовыравнивание: исследуемый режим неустойчив и не может наблюдаться при работе двигателя.

Первый режим для асинхронного двигателя (рис. неустойчив. Второй режим для этого двигателя устойчив, поскольку в этом случае Неустойчивость первого режима и устойчивость второго в данном примере очевидны. В первом случае при всяком отклонении от возникает ускорение, стремящееся еще более увеличить а во втором, наоборот, при отклонении возникает ускорение, уменьшающее Двигатель с Отрицательным самовыравниванием представляет собой неустойчивое инерционное звено. Использование регулятора и образование замкнутой системы стабилизации скорости позволяют обеспечить устойчивость и при неустойчивых режимах двигателей.

3. Самовыравнивание равно нулю: Двигатель как объект регулирования в данном режиме представляет собой интегрирующее звено. Поддержание постоянной скорости в таком режиме также возможно только с регулятором.