17-4. ГАРМОНИЧЕСКАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

Метод гармонической линеаризации или метод гармонического баланса является методом приближенного исследования процессов в нелинейных системах. Основы метода заложены в работах академиков Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова. Аналогичные по идее приемы исследования нелинейных систем принадлежат Б. В. Булгакову.

Применительно к системам автоматического регулирования этот метод развит Л. С. Гольдфарбом [Л. 17-4] и Е. П. Поповым [Л. 17-10]. В работах Попова метод гармонической линеаризации получил развитие не только как метод исследования устойчивости и автоколебаний, но и как метод исследования качества процессов регулирования нелинейных систем. Поповым приведены также исследования по обоснованию применимости метода гармонической линеаризации для задач теории регулирования и доказано, что этот метод является разновидностью так называемого метода малого параметра. Из работ зарубежных ученых по теории приближенных методов исследования можно назвать работы Кохенбургера и Джонсона [Л. 17-5].

а) Гармоническая линеаризация нелинейных элементов. Условия близости нелинейных колебаний к гармоническим

Систему с одним нелинейным элементом всегда можно привести к структурной схеме, показанной на рис. 16-9. Предположим, что в этой замкнутой системе, состоящей из линейной части и нелинейного элемента при установился режим автоколебаний с частотой .

В этом случае все координату системы представляют собой периодические функции с периодом Колебания всех пёременных нелинейны и всегда могут быть представлены в виде бесконечного ряда гармоник основной частоты

В системах автоматического регулирования как правило, является фильтром низких частот. В связи с этим высшие гармонические составляющие сигнала будут выражены значительно меньше, чем в выходном сигнале нелинейного элемента. Это позволяет сделать первое допущение: принять выходной сигнал идальным с амплитудой А, отбросив соответственно все высшие гармоники.

При автоколебаниях поэтому на вход нелинейного элемента будет воздействовать также синусоидальный сигнал с частотой и амплитудой А.

На рис. 17-35 приведена реакция некоторых нелинейных элементов на входной синусоидальный сигнал. Эти ярко выраженные несинусоидальные колебания могут быть представлены в виде гармонического колебания основной частоты и бесконечного ряда высших гармоник.

Поскольку на выходе высшие гармоники выражекы весьма слабо, можно при определении выходного сигнала принимать во внимание только первую гармонику выходного сигнала (и входного сигнала . В итоге анализ нелинейной системы можно производить, исходя из предположения, что автоколебания имеют гармонический характер. Имеется еще большой класс нелинейных систем, когда автоколебания действительно близки к гармоническим: Это авторезонансные системы, почти не встречающиеся в системах автоматического регулирования. К авторезонансным системам относятся, например, все ламповые генераторы, колебания которых близки к синусоидальным. Амплитудная характеристика авторезонансной системы, имеет ярко выраженный резонансный пик на частоте кроме того, характеристика нелинейного элемента мало отличается от линейной и может быть представлена в форме:

где малый параметр.

Рис. 17-35, Реакция нелинейных элементов на синусоидальный сигнал.

В системах автоматического регулирования, где как правило, представляет собой фильтр низких частот, амплитудно-частотная характеристика не имеет ярко выраженного резонансного пика. При исследовании нелинейных сцстем автоматического регулирования одной из задач является определение амплитуды А и частоты автоколебаний

Предположение о гармоническом характере автоколебаний позволяет ввести понятие о передаточной функции нелинейного элемента. Передаточную функцию нелинейного элемента определим как отношение первой гармоники выходного сигнала нелинейного элемента к входному синусоидалыному сигналу.

Возьмем входные и выходные колебания нелинейного элемента в комплексной" форме:

По определению получаем передаточную функцию нелинейного элемента

В самом общем случае передаточная функция является функцией частоты, входной А и выходной амплитуд. Наиболее распространены случаи, когда зависит только от амплитуды входных колебаний, т. е. и не зависит от частоты и амплитуды выходных колебаний

Рассмотрим примеры определения передаточных функций (нелинейных элементов.

1. Релейная характеристика с зоной нечувствительности. В этом случае не будет фазового сдвига между входным и выходным колебаниями нелинейного элемента и если входное колебание то и выходное также будет синусоидальным Амплитуда выходного колебания вычисляется по формуле

Для данного случая

Передаточную функцию получаем как отношение выходной амплитуды к входной:

Для релейной характеристики без зоны нечувствительности соответственно будем иметь:

2. Релейная характеристика с петлей. Амплитуда будет такой же, как и при релейной характеристике без зоны нечувствительности, т. е.

Однако выходные колебания сдвинуты а по фазе на угол Выходные колебания в комплексной форме будут иметь вид:

Деля их на входные колебания найдем передаточную функцию нелинейного элемента:

Однозначным нелинейным характеристикам будут всегда соответствовать вещественные передаточные функции Зоны неоднозначности у нелинейных элементов указывают на нелинейную зависимость выходного сигнала не только от входного, но и от его производной, т. е.

При такой связи наблюдается сдвиг фазы выходного сигнала относительно входного и передаточная функция становится комплексной.

Определение передаточной функции равноценно представлению связи между входным и выходным сигналами в виде:

При неизменных значениях амплитуды и частоты входного сигнала и связь (17-93) оказывается линейной.

Замена фактической нелинейной связи между входом и выходом линейной связью (17-93) носит название гармонической линеаризации. Гармоническая линеаризация нелинейных элементов дает возможность исследовать устойчивость нелинейных систем, выявить автоколебательные режимы, оценить их устойчивость. На основе гармонической линеаризации можно произвести оценки качества процесса регулирования.

Решения с помощью метода гармонической линеаризации всегда будут приближенными в силу упомянутых допущений. Неточность метода гармонической линеаризации для анализа большинства систем регулирования имеет малое значение. В то же время прйстота делает его весьма эффективным.

Для применения метода гармонической линеаризации нужно знать передаточные функции различных нелинейностей. В приложении III приведены передаточные функции и их обратные величины с обратным знаком которые иногда называют амплитудными характеристиками нелинейных элементов. Наряду с аналитическими выражениями приведены графики и

В некоторых случаях вместо передаточных функций при однозначных характеристиках используют так называемый эквивалентный коэффициент усиления

равйый отношению амплитуды выходного колебания к амплитуде входного сигнала.

Коэффициент усиления численно равен наклону луча, проведенного из начала координат к точке на кривой к абсциссе А (рис. 17-36). Коэффициент усиления зависит от входной амплитуды А, причем функции достаточно близки друг к другу. На рис. 17-37 и 17-38 приведены для некоторых нелинейностей.

Рис. 17-36. К определению эквивалентного коэффициента усиления нелинейного элемента.

Рис. 17-37. Эквивалентные коэффициенты усиления нелинейных элементов.

Рис. 17-38. Характеристика нелинейного элемента и его эквивалентный коэффициент усиления.