г) Оценка переходных функций по распределению полюсов передаточной функции или корней характеристического уравнения

Такая постановка вопроса имеет смысл для передаточной функции вида (10-33), как не имеющей нулей конечного и нулевого значения. Для пояснения связи общих характеристик переходных функций с распределением корней характеристического уравнения укажем на следующие положения: 1) при всех вещественных корнях переходная функция называется апериодической; 2) при передаточной функции вида (10-33) апериодическая функция есть в то же время монотонная и не имеет перерегулирования; 3) при комплексных корнях переходная функция может иметь перерегулирование. Количественные оценки переходной функции при некоторых распределениях корней можно получить с помощью обобщенных параметров распределения корней [Л. 10-15 и 10-25].

В рассматриваемых системах степень устойчивости, т. е. удаление ближайшего к мнимой оси корня или пары комплексных корней, определяет продолжительность переходного процесса. В самом деле, при

где начальное значение компоненты переходной составляющей.

Как видно, начальное значение получается наибольшим для наименьшего корня. Компонента, определяемая наименьшим корнем, имеет наибольшее значение и затухает медленнее других компонент. Следовательно, она в основном и определяет длительность переходного процесса. А. А. Фельдбаум [Л. 10-4] показал, что при всех вещественных корнях или при одной пат комплексных корней, а остальных вещественных, справедливо неравенство

где мажоранта т. е. кривая, ограничивающая сверху; миноранта т. е. кривая, ограничивающая снизу;

При этом миноранта является решением уравнения характеристический полином которого имеет корень — кратности т. е. выглядит следующим образом:

причем

Для нормированной передаточной функции (10-33) и передаточная функция при -кратном корне будет иметь вид:

Рис. 10-14. Переходные функции для нормированной передаточной функции при кратных корнях (порядок уравнения .

а переходная функция

По формуле (10-62) на рис. 10-14 построены переходные функции для различных

Неравенство (10-58) позволяет ответить на вопрос: при каком распределении вещественных корней и заданном значении время регулирования будет наименьшим? Легко видеть, что наименьшее время регулирования будет при всех кратных корнях. В самом деле, если все корни кратные, то для уравнения в форме Вышнеградского Если попытаться развести корни, то, так как их произведение все равно должно быть равно 1, часть корней удалится от мнимой оси, часть приблизится к ней. В результате степень устойчивости станет меньше 1, и время регулирования возрастет.

Миноранты и мажоранты для переходной функции получаются несколько более точными, если в расчет принять еще расстояние до наиболее удаленного корня. В этом случае при всех вещественных корнях или при паре комплексных, а остальных вещественных ].

где

Мажоранты и миноранты позволяют оценить как время регулирования, так и перерегулирование, возможное при одной паре комплексных корней. Оценить перерегулирование в этом случае можно по затуханию пары комплексных корней (остальные корня вещественные) в соответствии с неравенством

Неравенство обращается в равенство для системы второго порядка.

В заключение этого пункта рассмотрим влияние распределения корней уравнения третьего порядка на переходную функцию.

На диаграмме Вышнеградского (рис. 10-15) область устойчивости можно разбить на три области распределения корней. Область внутри кривой определяемой уравнением (10-45). В этой области все три корня вещественные, а переходная функция апериодическая и монотонная [имеется в виду

Рис. 10-15. Распределение корней уравнения третьего порядка и влияние этого распределения на характер переходной функции,

передаточная функция вида (10-33)]. Область между кривой а, б, в и границей устойчивости можно разбить на две области: область II, где ближайшей к мнимой оси является пара комплексных корней, и область III, где ближайший корень вещественный. Пограничную кривую между областями II и III найдем из условия, что все три корня расположены на одинаковом удалении от мнимой оси. При одинаковом удалении всех корней от мнимой оси вещественный корень уравнение (10-38)] равен откуда Подставив значение в (10-38), путем сравнения коэффициентов при одинаковых степенях находим параметрические уравнения искомой граничной кривой

После исключения находится уравнение граничной кривой в явной форме, полученной еще Вышнеградским:

На рис. 10-15 граничная кривая есть кривая г, д, б.

На диаграмме рис. 10-15 вместе с видом распределения корней показан характер переходной функции. В области II характер переходной функции определяет пара комплексных корней, а в области III — один вещественный корень.

Рис. 10-16, Влияние нулей передаточной функции на характер переходной функции.

При малом затухании на экспоненту, определяемую вещественным корнем, накладываются высокочастотные колебания.