2-5. ПЕРЕХОДНЫЕ ФУНКЦИИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЗВЕНЬЕВ

Переходная функция системы или звена — это его реакция на ступенчатую функцию (О-Она характеризует переход системы от одного равновесного состояния или установившегося режима к другому. Если линейное уравнение системы справедливо для малых отклонений, то и величина А ступенчатой функции должна быть малой. Для линейных систем обычно принимают

Для определения переходной функции линейной передающей системы или звена необходимо решить неоднородное уравнение системы при При подстановке получим:

Величиной обозначена здесь переходная функция, т. е. выходной сигнал левых, когда Решение ураанения (2-39) равноценно определению оригинала произведения передаточной функции на

откуда

где

Выражение (2-40) справедливо только, когда все полюсов передаточной функции простые и не равны нулю.

Переходная функция характеризующая процесс установления выходной величины при скачкообразном изменении входной, состоит из двух составляющих:

Таблица 2-1 (см. скан)

Составляющая представляет собой интеграл однородного уравнения (2-39), т. е. переходную составляющую процесса установления. Эта составляющая является в то же время динамйческой ошибкой. В устойчивой передающей системе или звене переходная составляющая стремится к нулю с течением времени, т. е.

Составляющая

есть частное решение неодшэродного уравнения (2-39), т. е. установившееся или вынужденное значение выходной величины. К этому значению выходная величина стремится по мере затухания переходной составляющей или динамической ошибки.

Переходная функция характеризуется временем регулирования величиной выбросов и их числом. Время регулирования — это время, в течение которого динамическая ошибка снижается до или время, по истечении которого переходная функция остается в пределах Практически можно считать, что за время выходная величина достигает своего установившегося значения. Теоретическое время установления в линейной системе стремится к бесконечности в соответствии с выражением (2-41). Выбросили перерегулирование — это превышение выходной величины над своим установившимся значением в процессе установления. Выбросы обычно

определяются в процентах к Число выбросов ограничено, поскольку учитываются выбросы за время регулирования.

Рассмотрим переходные функции элементарных звеньев.

Усилительное звено. Переходная функция усилительного звена

представляет собой ступенчатую функцию, увеличенную в раз по сравнению с входной.

Звено с постоянным запаздыванием Переходная функция, очевидно, будет ступенчатой функцией, смещенной по оси времени на величину т. е.

Инерционное звено

Переходную функцию звена можно получить также из решения неоднородного уравнения

Переходная функция имеет две составляющие: Составляющая есть интеграл усеченного уравнения (2-43), т. е. переходная составляющая процесса установления или динамическая ошибка. Как видно, динамическая ошибка уменьшается с течением времени по экспоненциальному закону. Составляющая есть частное решение неоднородного уравнения (2-43). Она представляет собой установившееся значение, к которому стремится выходная величина но мере затухания переходной составляющей. Заметим, что кривая (2-43) в координатах есть экспонента. На рис. 2-10 показаны кривые для трех значений

Рис. 2-10. Переходные функции инерционного звена при различных постоянных времени

Как видно из кривых, длительность переходного процесса (установления выходной величины) тем чем меньше постоянная времени.. При экспонента вырождается в ступенчатую функцию а инерционное звено вырождается в усилительное. Переходная функция инерционного звена не имеет перерегулирования, а время регулирования равно примерно трем постоянным времени, т. е.

Переходную функцию можно получить экспериментально, задавая ступенчатое воздействие на вход элемента. Записанный закон изменения выходной величины и будет переходной функцией. По экспериментальной записи можно определить параметры переходной функции и Для определения Т проводится касательная к при (рис. 2-11). Эта касательная отсекает на асимптоте экспоненты (прямая постоянную времени Если начало процесса на записи (осциллограмме) фиксировать трудно, то касательную можно провести; из любой точки экспоненты, перенеся в эту точку начало координат.

Рис. 2-11. Графическое определение постоянной времени инерционного звена.

Интегрирующее звено. Уравнение звена при имеет вид:

Переходная функция — прямая линия. Выходная величина непрерывно нарастает по линейному закону при постоянном значении входной величины. Это естественно, так как звено не имеет статического равновесия. Понятие о времени регулирования здесь не имеет смысла.

Звено второго порядка. Переходная функция получается как решение уравнения

при нулевых начальных условиях или как оригинал выражения

В зависимости от значений С получаются следующие выражения переходной функции:

1) , оба полюса — вещественные отрицательные числа,

где

2) , оба полюса комплексные, сопряженные, в этом случае звено называется колебательным и

где

3) - критический случай. Оба полюса сливаются в один кратный,

Для получения (2-45в) нужно воспользоваться формулой разложения дробно-рациональной функции для кратных полюсов или искать решение уравнения

в форме

где с постоянные. Выражение (2-45в) получается также предельным переходом из (2-45а) или (2-456) при

Графики переходных функций ател ьного звен а для личных построены на рис. 2-12. При (корни комплексные), переходный процесс колебательно-затухающий. При процесс апериодический и протекает без выбросов. По оси времени на графике переходных функций отложена безразмерная величина так как во всех трех выражениях для переменное сопровождается множителем Таким образом, вид переходной функции (колебательный, апериодический) определяется только коэффициентом затухания. Постоянная Т (или собственная частота

Рис. 2-12. Переходные функции колебательного звена при различных значениях коэффициента затухания.

определяет только масштаб процесса по оси времени.

Из всех переходных процессов для различных С оптимальным является процесс при . Этот процесс имеет наименьшее время регулирования и имеет максимальный выброс, меньший 0,056 (или при ).