б) Свертка двух дискретных функций

Пусть известны дискретная весовая функция некоторой системы и входной сигнал в виде последовательности -импульсов, воздействующих на систему через интервалы

Каждая входная -функция порождает на выходе серию смещенных непрерывных -функций. Поскольку нас интересует только реакция в дискретных точках, поместим и на выходе системы -импульсный элемент. Это обстоятельство позволит, не меняя существа дела, оперировать с одинаковыми видами входных и выходных величин. Теперь каждый вход: ной импульс приведет к появлению на выходе целой последовательности импульсов Так, последовательность на выходе от начального импульса будет:

от первого импульса

от второго импульса

от третьего импульса

от импульса

Каждый член выходной последовательности образуется как сумма результатов воздействий импульсов последовательности т. е.

Рис. 14-13. Импульсная переходная функция.

при этом для всех поскольку реакция не может предшествовать воздействию.

Сумма (14-34) является сверткой двух дискретных функций времени (аналог интеграла Дюамеля). Обозначим тогда

Меняя порядок суммирования и обозначая X через получим:

Это выражение свертки было получено [см. (14-33)] как решение уравнения в конечных разностях (14-29). Уравнение (14-29) можно рассматривать как уравнение динамической системы, испытывающей воздействие Представление решения в форме (14-32) позволяет рассматривать дробно-рациональную функцию как символическую передаточную функцию системы. При этом коэффициенты разложения функции по степеням являются коэффициентами веса:

С помощью (14-34) и (14-35) вычисляется или общий, член выходной последовательности целом вся последовательность получается как произведение входной последовательности на последовательность коэффициентов веса:

при этом перемножение последовательности осуществляется по правилу умножения многочленов:

В справедливости этого способа вычисления последовательности можно убедиться, сопоставив выражение для члена последовательности с формулой (14-33).

Описанный способ вычисления выходной последовательности вытекает из способа решения разностных уравнений путем разложения в ряд передаточныхфункций системы, записанных в символической форме.

В непрерывных системах подобные способы используются для ближенных решений дифференциальных уравнений.