в) Метод точечных преобразований

Метод точечных преобразований является обобщением метода припасов ывания.

Рассмотрим последовательные положения изображающей точки на линии переключения, например на линии или полупрямой (рис. 17-11). Пусть начальное положение изображающей точки было 1 на полупрямой Координаты этой точки Далее изображающая точка, двигаясь по траектории, перейдет на точку 2 с координатами на полупрямой Связь между координатами точек 1 и 2 дается выражением (17-38) при при этом Таким образом, получаем:

или

Выражение (17-40) в неявной форме дает положение точки 2 на полупрямой в зависимости от положения точки 1 на полупрямой Выражение (17-40) можно рассматривать как преобразование всего множества точек на

Рис. 17-13. Процесс установления автоколебаний. — период автоколебаний; амплитуда колебаний скорости; амплитуда колебаний угла.

полупрямой в соответствующее множество точек «а полупрямой Обозначим это преобразование

Точно так же множество точек на полупрямой преобразуется в соответствующее множество на полупрямой В силу симметрии это преобразование только знаком будет отличаться от назовем его

Преобразование осуществляется по формуле

В целом преобразование переводит точку 1 в точку на той же полупрямой или величину и в величину Очевидно, что если то колебания нарастают, если то затухают. Если же т. е. преобразование переводит точку 1 саму в себя, то в системе имеют место автоколебания. Для выявления автоколебаний нужно исследовать свойство преобразования Согласно (17-40) и (17-41) преобразования одинаковы. Поэтому достаточно исследовать преобразование (17-40). В этом случае при колебания нарастают, при затухают и при в системе устанавливаются автоколебания. При равенстве эти величины в то же время равны амплитуде автоколебаний. скорости у вращения выходного вала следящей системы (рис. 17-13). Подставляя в (17-40) получаем уравнение для вычисления амплитуды колебаний скорости

Число корней уравнения определяет все возможные автоколебательные режимы со своими амплитудами Некоторые из этих режимов будут устойчивыми, некоторые — неустойчивыми. Задача исследования — произвести анализ устойчивых режимов и определить устойчивость состояния равновесия

Уравнения типа (17-42) обычно решаются графически. При этом уравнение (17-42) следует взять в форме (17-40). Перепишем (17-40) в более общем виде:

Функции называются функциями точечного преобразования. Если графики функций имеют точки пересечения, то это означает, что в системе имеются автоколебания, поскольку в точках пересечения и равно

Целесообразно перед графическим построением произвести их качественное исследование для выяснения возможных точек пересечения. В данном случае аргументы функций лежат в пределах от нуля до единицы. Определим граничные значения этих функций:

Рис. 17-14. Диаграмма точечных преобразований.

Поскольку графики обязательно пересекаются. Для выяснения возможного числа точек пересечения найдем первые и вторые производные функций:

Первые и вторые производные обеих функций отрицательны. Это значит что обе функции уменьшаются с ростом аргументов и имеют выпуклость вверх. Функции с такими свойствами могут пересекаться только в одной точке (рис. 17-14). Из графического рассмотрения уравнения (17-42) путем построения функций можно не только определить амплитуду автоколебаний скорости, но также проследить весь процесс установления автоколебаний и выяснить их устойчивость. Возьмем начальное значение и, большее точка 2 на кривой (рис. 17-14) Для определения через полуколёбание достаточно провести из тбчки и прямую, параллельную оси абсцисс [в соответствии с равенством пересечения этом, как видно, для любого Поскольку при любых колебания затухают до автоколебаний.

Если теперь взять [точка 1 на кривой ] то любое и будет больше и и, следовательно, колебания раскачиваются до автоколебаний. Таким образом, любое начальное и стремится к т. е. автоколебания устойчивы. Процесс установления автоколебаний и последовательные. значения также графически определяются при любом начальном и, из диаграммы. Диаграмма, с помощью которой выясняется весь характер возможных движений системы, называется диаграммой точечных преобразований.

Определение позволяет найти остальное параметры — период автоколебаний Та и амплитуду отклонения. Используя (17-35) при находим:

откуда

и

В то время, если применить правило (17-39), то

Амплитуда вычисляется по формуле (17-38) при