ГЛАВА ДЕВЯТАЯ. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

9-1. ПОНЯТИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Реакция линейной системы на управляющее воздействие или возмущение всегда состоит из двух составляющих:

где переходная составляющая или составляющая свободных (собственных) движений системы; — составляющая вынужденного движения.

Согласно (2-26) при управляющих и возмущающих функциях, имеющих дробно-рациональные изображения,

В данном случае полюсы передаточной функции или полюсы изображения воздействия Для того чтобы система могла воспроизводить входной сигнал переходная составляющая должна стремиться к нулю или затухать:

Необходимость требования (9-4) хорошо иллюстрируется выражением (7-22), которое дает закон движения выходной оси следящей системы при движении с постоянной скоростью входной оси. Процесс слежения, очевидно, возможен, если только составляющая

с течением времени стремится к нулю и затухает.

При возмущении реакция в нормально функционирующей системе уменьшается до нуля или до малой величины. Это, очевидно, возможно, только когда переходная составляющая реакции затухает.

Таким образом, система автоматического регулирования только в том случае может выполнять свое назначение, если переходные составляющие движения [собственные движения возникающие в силу различных причин, будут с течением времени уменьшаться до нуля. Иными словами, во всех случаях должно выполняться условие (9-4).

Линейная система, у которой собственные движения (переходные составляющие) удовлетворяют условию (9-4), т. е. затухают, представляет собой устойчивую систему.

Если собственное движение линейной системы расходится, т. е.

то такая система неустойчива.

Переходная составляющая движения в линейной системе представляет сумму экспоненциальных

составляющих. Переходная составляющая будет затухать только в том случае, если будет затухать каждая из экспоненциальных составляющих в отдельности. Затухание или незатухание компоненты целиком определяются значением соответствующего полюса передаточной функции или корня характеристического уравнения. Так, при вещественном отрицательном полюсе компонента затухает; напротив, при положительном полюсе компонента непрерывно нарастает. Комплексные полюсы (или корни) всегда присутствуют парами как сопряженные. Полюсу соответствует сопряженный Пара составляющих и образует одну колебательную составляющую собственного движения с которая будет затухать только в том случае, если вещественная часть комплексных корней отрицательна

Таким образом, знаки вещественных корней и знаки вещественных частей комплексных корней характеристического уравнения целиком и полностью определяют затухание или незатухание переходной составляющей, т. е. устойчивость или неустойчивость линейной системы..

Линейная стационарная система устойчива, если все вещественные корни ее характеристического уравнения отрицательны, а все комплексные — имеют отрицательную вещественную часть.

Иными словами, у устойчивой системы все корни характеристического уравнения (или все полюсы передаточной функции) расположены слева от мнимой оси плоскости корней.

Система, у которой хотя бы один из корней характеристического уравнения или пара комплексных сопряженных корней окажутся правее мнимой оси, — неустойчива.

Случай, когда один вещественный корень или пара комплексных сопряженных оказывается на мнимой оси или является граничным. Система в этом случае оказывается на границе устойчивости.

Лирейные системы, у которых имеется пара мнимых корней, могут совершать незатухающие свободные колебания. Такие системы автоматического регулирования оказываются непригодными к эксплуатации (неработоспособными) и поэтому часто относятся к неустойчивым системам.

Линейные системы, характеристические уравнения которых имеют один нулевой корень при всех остальных корнях, расположенных левее мнимой оси, называют также нейтрально-устойчивыми системами. Очевидно, что передающие системы, содержащие интегрирующие звенья, нейтрально-устойчивы (например, сервомоторы). Однако замкнутые системы автоматического регулирования, работающие по принципу отклонений, не могут быть нейтрально-устойчивыми. У нейтрально-устойчивой замкнутой системы отклонение будет произвольным система не будет отвечать своему назначению.

Итак, установлено, что устойчивость линейной системы определяется положением корней характеристического уравнения на комплексной плоскости. Если корни известны, то вопрос, устойчива или неустойчива система, решен. Однако, корни уравнений высоких степеней разыскать трудно, тем более, что для уравнений выше четвертой степени они вообще не выражаются алгебраически (в виде формул) через коэффициенты уравнения. В связи с этим возникла необходимость судить об устойчивости непосредственно по коэффициентам характеристических уравнений или по коэффициентам передаточных функций. Коэффициенты уравнений и коэффициенты передаточных функций сравнительно просто выражаются через параметры звеньев, образующих систему. Корни же уравнений, наоборот или весьма сложно выражаются (для уравнений третьей и четвертой степеней), или вообще не могут быть выражены через коэффициенты

уравнений (для уравнений пятой степени и выше), а стало быть, и через параметры звеньев.

Для того чтобы обойти вопрос о корнях уравнений три исследовании устойчивости, в теории автоматического (регулирования разработано несколько критериев устойчивости — правил, позволяющих анализировать устойчивость без решения характеристического уравнения.

Однако тайность критериев устойчивости заключается не столько в устранении необходимости вычисления корней, сколько в возможности выяснить сравнительно просто причину неустойчивости, если таковая обнаружится. Найдя корни и установив, например, что система неустойчива, очень трудно определить, какой элемент, какой параметр системы нужно изменить и в какую сторону, чтобы сделать систему устойчивой. Использование критериев устойчивости позволяет решить эту задачу проще.

Существуют три основных критерия устойчивости; 1) критерий Рауса-Турвица; 2) критерий A. В. Михайлова; 3) частотный (или амплитудно-фазовый) критерий Найквиста.

С помощью любого из критериев решается одна и та же задача: определяется отсутствие или наличие королей характеристического уравнения в правой полуплоскости и на мнимой оси. Однако в различных случаях каждый из критериев имеет авон особенности и удобства применения.