г) Оценка устойчивости релейных систем

Строгое исследование, устойчивости положения равновесия и устойчивости автоколебаний требует составления уравнений в конечных разностях для релейных систем. Уравнения эти всегда нелинейны; они уже встречались анализе релейных систем методом фазовой плоскости. Из нелинейных разностных уравнений можно получить линейные разностные уравнения для малых отклонений относительно исследуемого режима и тем самым решить вопрос об его устойчивости.

Не прибегая к выводу разностных уравнений, ограничимся приближенной оценкой устойчивости положения равновесия и устойчивости автоколебаний. Если под устойчивостью понимать отсутствие автоколебаний хотя бы при ограниченных начальных отклонениях, то в расчет следует принять только четыре из пяти релейных элементов: релейные элементы (1), (1а), (3) и (4) (табл. 16-2), поскольку релейный элемент (2) всегда вызывает автоколебания. При этом устойчивая система с идеальным реле (1) в установившемся режиме совершает автоколебания бесконечно большой частоты и бесконечно малой амплитуды. При упомянутых четырех релейных элементах система всегда устойчива при следующих видах

Заметим, что с такими передаточными функциями устойчива и замкнутая линейная система при сколь угодно большом К- Годографы частотных характеристик при указанных видах передаточной функции приведены на рис, 17-58.

Рис. 17-58. Годографы частотных характеристик для различных передаточных функций

Точно такой же вид будут иметь годографы, в окрестности начала координат при любом порядке линейной части, если степень полинома знаменателя Превышает степень числителя не более чем на 2. При этом условии систему с релейным элементом (1), или (4) можно сделать устойчивой в указанном выше смысле.

Устойчивость положения равновесия, а также устойчивость автоколебаний релейной системы можно оценить на основе следующих рассуждений. Разомкнем систему (рис. 17-50,а) на входе релейного элемента [имеется в виду релейный элемент (1)] и подадим на него периодические колебаний с частотой При этом в установившемся режиме между возможны следующие соотношения фаз: 1) в момент переключения в момент переключения

Рис. 17-59. К определению соотношения фаз между в момент переключения.

Далее, в установившемся режиме в некоторый момент времени отключим внешнее периодическое воздействие и замкнем систему. Теперь переключение будет происходить в момент, когда проходит через нуль. Поэтому в первом случае полупериод с каждым разом будет уменьшаться, а во втором — увеличиваться. Таким образом, если при (всех от до (рис. 17-60), то релейная система устойчива.

Рис. 17-60. К анализу устойчивости релейной системы, -устойчивая система; -устойчивая система.

Рис. 17-61. Графическое определение устойчивости автоколебаний.

Если же для всех от до то релейная система неустойчива. Эти же рассуждения позволяют определить устойчивость автоколебаний. При кривая проходит через нуль.

На рис. 17-61 показана кривая пересекающая ось абсцисс дважды — в точках 1 и 2. Исследуем устойчивость автоколебания для точки 1. На разомкнутую систему подадим колебания полупериода и после их установления отключим внешнее воздействие и замкнем систему. Поскольку в этом случае колебания будут нарастать до периода Если взять внешние колебания то Период будет уменьшаться до нуля, поскольку при этом . Таким образом, автоколебанияв точке 1 неустойчивы. Аналогичные рассуждения указывают на устойчивость автоколебательного режима 2 с периодом и на устойчивость в том смысле, что если начальный период будет меньше то период колебаний уменьшится до нуля (а соответственно частота возрастет до бесконечности).

Из изложенного вытекает, что для устойчивых автоколебаний выполняются условия

Соответственно для неустойчивых

Критерии устойчивости (17-124) справедливы и при релейном элементе (2), только в этом случае взамен оси абсцисс следует рассматривать параллельную ей линию, проходящую сверху на расстоянии а (рис. 17-61). Устойчивость или неустойчивость автоколебаний можно определить по частотной характеристике релейной системы Автоколебания определяются точками пересечения этой характеристики с отрицательной вещественной полуосью или с линией, параллельной ей и расположенной ниже ее на расстоянии Если годограф пересекает прямую снизу вверх, то автоколебания устойчивы, а если сверху вниз — неустойчивы. Направление годографа определяется стрелками, указывающими возрастание Частоты Способ определения устойчивости автоколебаний по годографу вытекает из определения годографа и условия (17-124). Укажем для примера, что на рис. 17-55 режимы, соответствующие точкам пересечения 1 и 3, устойчивы, тогда как режим, определяемый тонкой пересечения 2, неустойчив.