2-4. ТИПОВЫЕ ВХОДНЫЕ СИГНАЛЫ. ВОЗМУЩАЮЩИЕ ФУНКЦИИ
Для исследования динамических свойств элементов необходимо решить дифференциальное уравнение или каким-либо косвенным образом исследовать его решение. Это возможно при условии, если известна входная величина 
как функция времени. В реальных условиях при работе системы автоматического регулирования входная величина каждого элемента по существу является случайной функцией времё-ни. Поэтому для исследования элементов принимается несколько типовых (стандартных) сигналов, отражающих различные стороны совокупности входных случайных сигналов. Входные сигналы называют также возмущающими, а выходные сигналы, возникающие в результате их воздействия — реакцией на эти возмущения. Типовые возмущения, которые ниже перечисляются, являются типовыми не только для элементов, но и для систем автоматического регулирования.
а) Ступенчатая функция (ступенчатый сигнал)
Эта функция скачком в момент 
достигает значения 
и далее остается постоянной. Это значит, что 
при 
и 
при 
Иногда для ступенчатой функции используется обозначение
Функция 
называется единичной ступенчатой функцией.
Возникновение ступенчатого входного сигнала весьма типично. Для электрических и электромеханических устройств ступенчатый сигнал означает включение постоянного напряжения на вход элемента. Для центробежного измерителя быстрое перемещение органа настройки на постоянную величину будет означать ступенчатое воздействие. В результате такого воздействия измеритель перейдет к новому равновесному состоянию. Процесс перехода к новому равновесному состоянию при ступенчатом воздействии описывается решением дифференциального уравнения при 
Таким образом, переходная функция — это реакция элемента или системы на ступенчатое входное воздействие.
В заключение укажем, что изображение ступенчатой функции
б) Импульсная функция и «дельта»-функция
Для импульсной функции используется обозначение 
где А — постоянная, а 
импульс бесконечно большой величины и бесконечно малой длительности, так что
Импульсную функцию 
можно рассматривать как предел прямоугольного импульса 
и длительности 
при 
так что остается 
Рис. 2-9. К образованию функций 
в 
Хотя ступенчатая функция 
и импульсная функция 
не являются дифференцируемыми в обычном смысле слова, на эти функции путем предельных переходов распространяется понятие производных. Обозначение 
для импульсной функции выбрано не случайно, так как она есть производная ступенчатой функции:
Это вытекает из предела функций 
и 
при графики которых изображены на рис. 2-9, а и б. В самом деле,
откуда следует, что
Точно так же путем предельного перехода можно ввести понятие о
На рис. 2-9,в и 
приведены функция в виде равнобедренного треугольника и ее производная 
Переходя к пределу так, чтобы 
оставался постоянным, будем иметь:
откуда и вытекает, что
Точно так же образуются 
Аналогично импульсной функции определяется введенная Дираком так называемая дельта-функция или 
-функция, которая также представляет собой импульс бесконечно большой амплитуды и бесконечно малой длительности. Функция 
получается как предел односторонних импульсов, т. е. расположенных справа от оси ординат. Функция 
есть предел двусторонних импульсов (рис. 2-9,д и е), т. е. импульсов, симметричных относительно оси ординат (начала отсчета времени).
Если 
— двусторонние импульсы, то
или
при этом в обоих случаях 
Поскольку 
предел двусторонних импульсов, то
Дельта-функция, как и импульсная функция, имеет производные, определяемые путем предельного 
перехода, т. е.
и т. д. Производные дельта-функции 
называются также дельта-функциями первого, второго, 
порядка.
На практике кратковременные импульсные воздействия, близкие 
-функции (или 
- функции). встречаются достаточно часто. Удары в механических системах, сила отдачи при выстреле из орудий являются примерами воздействий, близких к воздействию 
-функции. Следует подчеркнуть, что импульсное воздействие для относительно инерционной системы может рассматриваться как 
-функция. Например, электрический импульс длительностью в 1 мсек для обычных систем регулирования напряжения можно с высокой точностью уподобить 
-функции. Однако тот же импульс для видеоусилителя телевизора, обладающего запаздыванием, меньшим 1 мсек, никак нельзя считать подобным 
-функции или 
-функции.
Реакция системы на импульсную 
-функцию носит название импульсной переходной функции или импульсной реакции. Импульсную реакцию именуют также
импульсной характеристикой, а также весовой функцией системы.
Переходная функция и импульсная переходная функция объединяются общим названием временные. характеристики элемента или системы.
Изображение 
-функции можно получить предельным переходом из изображения одностороннего прямоугольного импульса 
(рис. 2-9, б). Импульс 
длительности 
и высоты 
можно представить как разность двух ступенчатых функций
Применяя прямое преобразование Лапласа, получим изображение импульса
Переходя к пределу, найдем:
или
Для получения изображения 
-функций, строго говоря, нельзя применять обычное преобразование Лапласа, которое является односторонним. Необходимо использовать или специальное двустороннее преобразование Лапласа, или преобразование Фурье. Изображение Фурье 
-функции также равно единице. В последующем изложении будет в основном использоваться 
-фуекция. Необходимость применения 
-функции будет специально оговариваться.
в) Синусоидальная (гармоническая) функция времени
Эта функция задается в вещественной или в комплексной форме. В вещественной форме гармоническую функцию можно задать или как синусоидальную, или как косинусоидальную:
или
где 
круговая частота колебания 
а 
-период колебаний,
Начальная фаза 
функции 
может быть взята произвольной (в частности, 
). Амплитуда 
в случае линейных систем обычно принимается равной единице.
Весьма удобно при исследовании систем автоматического регулирования задавать гармоническую функцию в комплексной форме, содержащей в виде вещественной части косинуеоидальную, а 
виде мнимой синусоидальную компоненты
(черта сверху над 
указывает, что эта величина комплексная). Решение дифференциального уравнения системы при
также будет состоять из двух компонент — вещественной и мнимой. Мнимая будет решением уравнения при 
а вещественная — решением уравнения при 
При ступенчатом сигнале 
путем решения уравнения системы изучается процесс перехода системы из одного равновесного состояния в другое (переходная функция). При гармоническом же сигнале
на основе решения уравнения представляется возможным исследовать характер и качество воспроизведения данным элементом или системой меняющегося входного сигнала. В связи с этим интерес будет представлять только частное решение неоднородного уравнения 
[см. (2-27)], которое отображает вынужденные колебания
не представляет интереса в данном случае. Общее решение однородного уравнения — это переходная составляющая при воздействии 
Она случайна в силу случайности начальной фазы 
Кроме того, вообще представление о всякого рода переходных составляющих или переходных процессах дается переходной функцией.
при 
совершаются также по гармоническому закону с той же частотой 
, но с амплитудой и фазой, отличными от 
поскольку частное решение неоднородного уравнения с гармонической правой частью является также гармонической функцией..
и фаза 
выходного сигнала при данных 
зависят от частоты 
и параметров элемента. В связи с этим исследование реакции элемента на входной гармонический сигнал приводит нас к понятию частотных характеристик элементов или системы.
