2-11. ЭЛЕМЕНТЫ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ КАК ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Передаточная функция элемента, характеризующая связь его входной и выходной величин, описывает статические и динамические свойства данного элемента при прохождении через него сигнала. Эта характеристика достаточна для анализа динамики процеса в системах, составленных из элементов однонаправленного действия. Однако она не является полной. При рассмотрении задач согласования элементов в системе автоматического управления в целях получения наибольшего усиления мощности или наибольшей мощности на выходе возникает потребность в более полном описании передаточных свойств элементов.

Если при изучении динамических свойств элемента сигнал на входе этого элемента достаточно характеризовать только одной величиной а сигнал на выходе — также одной величиной то для решения указанных задач необходимо

как входной, так и выходной сигналы описывать двумя величинами. В качестве другой пары координат используют физические величины, характеризующие совместно с первыми мощность входного и выходного сигналов соответственно.

Таким образом, входной и выходной сигналы элемента с одним входам и одним выходом характеризуются следующими четырьмя величинами:

Произведения и выхвых имеют значения мощности входного и выходного сигналов.

Если данный элемент представляет собой электрическую щель или усилитель электрических сигналов, то величинами Явых служат токи во входной и выходной цепях, а величинами напряжения на входе и выходе элемента.

Подобный электрический элемент, как известно из электротехники и теории связи, носит название четырехполюсника. Рассмотрение неэлектричеокого элемента с двумя входными и двумя выходными физическими величинами, попарные произведения которых имеют размерность мощности, является по существу распространением понятия четырехполюсника на механические, электромеханические, электропневматические и другие элементы систем автоматического управления.

Если рассматривают механический элемент, например рычаг или редуктор, то в качестве и выбирают линейные гили угловые скорости перемещения на входе и выходе. Величинами в этом случае служат силы или моменты на входе и выходе механического элемента. Бели рассматриваемый элемент представляет собой электромеханическое устройство, преобразующее электрический сигнал в механическое перемещение (например, электродвигатель), то величинами служат ток и напряжение на входе элемента, а величинами скорость и сила (момент), развиваемые на выходе элемента.

Элементы систем автоматического управления аналогично четырехполюсникам делятся на линейные и нелинейные, пассивные и активные.

Уравнения линейного элемента четырехполюсника имеют вид:

здесь — в общем случае линейные операторы.

Будем именовать эти операторы частными передаточными функциями, а уравнения (2-86) в целом — передаточными уравнениями.

В теории четырехполюсников таблица частных передаточных функций

носит название характеристической матрицы.

Оператор который, будучи, приложен к величине дает называется сопротивлением нагрузки

Если элемент имеет электрический выход, то напряжение, и величина представляет собой обычную операторную форму электрического сопротивления.

Если элемент имеет механический выход и скорость перемещения, то сопротивление нагрузки представляет собой оператор, связывающий силу со скоростью вызываемой этой силой.

Передаточные уравнения (2-86) вместе с уравнением цепи нагрузки

позволяют найти полную

передаточную функцию нагруженного элемента. Применение находят четыре вида передаточной функции: смысл которых ясен из соотношений

Из уравнений (2-86), (2-87) получаем:

Передаточные функции весьма просто выражаются через найденные функции:

а именно:

Пассивные элементы не имеют внутренних источников энергии, и для линейных пассивных элементов ненаправленного действия справедлив принцип взаимности. Применительно к пассивным электрическим цепям принцип взаимности, как известно, формулируется следующим образом. Если источник э. д. с. F, включенный в ветвь 1, вызывает в измерителе, включенном в ветвь 2, ток х, то при обмене местами включения измерителя и источника с равными внутренними сопротивлениями в ветви 1 будет протекать такой же ток х, какой ранее протекал в ветви 2.

Мы применим вдесыпринцип взаимности для доказательства следующего важного положения. Для пассивных линейных элементов ненаправленного действия определитель частных передаточных функций тождественно равен единице:

Доказательство этого положения получим, рассматривая случай, когда сопротивление нагрузки элемента равно нулю и поэтому Тогда согласно уравнениям передачи (2-86),

Если теперь источник э. д. с. подключить к выходу элемента, замкнув вход этого элемента так, чтобы

Согласно принципу взаимности при

поэтому

и

Таким образом, для пассивных линейных элементов выражения полных передаточных функций (2-90) упрощаются:

Перейдем к рассмотрению энергетических соотношений. Мгновенные

значения мощности на входе и выходе выражаются формулами

Ограничимся гармоническим изменением входных и выходных величин

где комплексные амплитуды, постоянные во времени. В этом случае передаточные уравнения (2-86) будут иметь вид:

где частные амплитудно-фазовые характеристики. Уравнения (2-89) принимают вид:

Отсюда следует:

Модуль величины представляет собой коэффициент усиления по мощности. Действительно,

где — кажущаяся мощность на выходе; - кажущаяся мощность на входе.

Найдем значение сопротивления нагрузки при котором коэффициент усиления по мощности максимален. Заметим, что

Поэтому, если

то

Таким образом, условие является достаточным условием экстремума коэффициента усиления по мощности.

Условие — выполняется, когда производная знаменателя выражения (2-95) обращается в нуль, т. е.

отсюда

Сопротивление называется характеристическим сопротивлением элемента со стороны выхода. Можно показать, что экстремум, соответствующий условию является максимумом

Итак, максимальный коэффициент усиления по мощности получается при сопротивлении нагрузки, равном характеристическому сопротивлению элемента со стороны выхода. При величина равна:

где для краткости опущены обозначения аргумента

Таким образом, максимальное значение коэффициента усиления по мощности, равно:

Входное сопротивление элемента выражается следующим образом:

Если сопротивление нагрузки равно характеристическому сопротивлению со стороны выхода

то входное сопротивление равно:

Сопротивление

носит название характеристического сопротивления элемента со стороны входа.

Таким образом, входное сопротивление элемента, нагруженного характеристическим сопротивлением со стороны выхода, равно характеристическому сопротивлению со стороны входа Коэффициент усиления элемента по мощности при этом максимален.

Характеристические сопротивления со стороны входа и выхода равны только у тех элементов, у которых

Такие элементы называются обычно симметричными и встречаются сравнительно редко (например, равноплечий рычаг, трансформатор с коэффициентом трансформации 1

Необходимо отметить, что условие максимального усиления по мощности

не совпадает с условием получения максимальной активной мощности в нагрузке. Для получения второго условия — условия максимальной активной мощности на выходе элемента обратимся к уравнениям

Пусть сопротивление нагрузки равно бесконечности, тогда

Для элементов с электрическим выходом этот режим носит название режима холостого хода

Величина при определяется уравнениями

и равна:

При произвольном сопротивлении нагрузки и уравнения (2-100) имеют вид:

откуда следует

Величина — представляет собой сопротивление элемента со стороны выхода. Действительно» если то

и

Знак минус в последнем выражении введен потому, что источник сигнала при находится на стороне выхода и направление перемещения противоположно ранее рассмотренным случаям. Итак,

Применительно к электрическим четырехполюсникам данное выражение соответствует известному положению: ток в цепи нагрузки равен отношению напряжения холостого хода к сумме внутреннего сопротивления и сопротивления нагрузки.

Обозначим активные и реактивные составляющие сопротивлений и соответственно тогда

и

Активная мощность в нагрузке равна:

Условия экстремума (в данном случае — максимума)

после дифференцирования имеют вид:

Отсюда

Таким образом, максимальная активная мощность в нагрузке выделяется в том случае, когда реактивная составляющая сопротивления нагрузки равна по величине и противоположна по знаку реактивной составляющей внутреннего сопротивления элемента со стороны выхода, а активная составляющая сопротивления нагрузки равна активной составляющей указанного внутреннего сопротивления.

В комплексной форме условие получения максимальной активной мощности на выходе имеет вид:

где — комплексная величина, сопряженная с