1.4.2. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

В этом разделе определяются условия, при которых линейные системы с постоянными параметрами обладают той или иной из рассмотренных выше форм устойчивости. Рассмотрим систему

где А — постоянная матрица . В разд. 1.3.3 мы видели, что, если А имеет различные характеристические числа и соответствующие собственные векторы реакция системы на произвольное начальное отклонение может быть представлена как

где скаляры определяются из начального состояния Для систем с педиагонализируемой матрицей А это выражение содержит добавочные члены вида (разд. 1.3.4). Ясно, что устойчивость системы в обоих случаях определяется характеристическими числами При этом имеем следующий результат.

Теорема 1.13. Линейная система с постоянными параметрами

является устойчивой в смысле Ляпунова тогда и только тогда, когда

а) все характеристические числа А имеют неположительные действительные части и

б) любому характеристическому числу на мнимой оси кратности точно соответствует собственных векторов матрицы А.

Условие (б) необходимо для ограничения членов, которые возрастают как (разд. 1.3.4). Это условие всегда удовлетворяется, если А не имеет кратных характеристических чисел на мнимой оси. Для асимптотической устойчивости необходимы несколько более жесткие условия.

Теорема 1.14. Система с постоянными параметрами

является асимптотически устойчивой тогда и только тогда, когда все характеристические числа матрицы А имеют строго отрицательные действительные части.

Этот результат нетрудно доказать. Более того, видно, что, если линейная система с постоянными параметрами является асимптотически устойчивой, сходимость текущего состояния к нулевому состоянию экспоненциальная. Этот результат формулируется в следующей теореме.

Теорема 1.15. Система с постоянными параметрами

является экспоненциально устойчивой тогда и только тогда, когда она асимптотически устойчива.

Поскольку асимптотическая устойчивость системы определяется матрицей А, удобно использовать следующую терминологию.

Определение 1.6. Постоянная матрица А размерности является асимптотически устойчивой, если все ее характеристические числа имеют отрицательные действительные части.

Характеристические числа матрицы А являются корнями характеристического полинома XI — А. С помощью хорошо известного критерия Рауса—Гурвица (см., например, [159]) устойчивость матрицы А может быть непосредственно исследована по коэффициентам характеристического полинома, без вычисления корней.

При рассмотрении систем, не являющихся асимптотически устойчивыми, удобно выделять те характеристические числа матрицы А, которые имеют строго отрицательные действительные части, как устойчивые полюсы системы, а оставшиеся характеристические числа — как неустойчивые полюсы.

Завершим этот раздел простым примером. Дополнительный пример приводится в разд. 1.5.1.

Пример 1.9. Смесительный бак

Матрица А линеаризованного дифференциального уравнения, состояния из примера 1.2 имеет характеристические числа Как показано выше (пример 1.8), линеаризованная система асимптотически устойчива, так как .