1.11.2. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЁНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ; ВОЗБУЖДАЕМЫЕ БЕЛЫМ ШУМОМ

В дальнейшем будет показано, что линейные дифференциальные системы, возбуждаемые белым шумом, являются очень удобными моделями для формулирования и решения задач линейного управления с учетом возмущений и шумов. В данном разделе рассматриваются некоторыё статистические свойства состояния линейной дифференциальной системы при наличии процесса типа белого шума в качестве входной переменной. В частности, вычисляются среднее значение, ковариационная матрица, матрица смешанных моментов, матрицы дисперсий и моментов состояния х.

Теорема 1.52. Предположим, что — решение уравнения

где — белый шум интенсивности — стохастическая величина, независимая от со средним значением и матрицей дисперсий Тогда имеет среднее значение

где — переходная матрица системы (1.499). Ковариационная матрица процесса имеет вид

Ковариационная матрица удовлетворяет матричному дифференциальному уравнению

Кроме того,

Матрица смешанных моментов второго порядка процесса имеет вид

Матрица моментов удовлетворяет матричному дифференциальному уравнению

В заключение имеем

Эти результаты нетрудно доказать, используя правила интегрирования, приведенные в теореме 1.51. Поскольку

из (1.484) следует, что определяется формулой (1.500). Чтобы найти ковариационную матрицу и матрицу смешанных моментов, рассмотрим уравнение

Вследствие независимости и того факта, что имеет нулевое средпео, второй и третий члены в правой части выражения (1.509) равны нулю. Принимая во внимание (1.486), четвертый член можно упростить так, что из (1.509) следует (1.504). Подобным же образом устанавливается справедливость выражения (1.501). Дисперсия получается, если положить в (1.501):

Дифференциальное уравнение (1.502) находится дифференцированием в (1.510) относительно Начальное условие (1.502) определяется при Дифференциальное уравнение для находится апалогичным образом. Наконец, (1.503) и (1.507) следуют непосредственно из выражений (1.501) и (1.504).

Кстати заметим, что если — гауссовская стохастическая величина и белый шум — гауссовский (см. пример 1.33), то является гауссовским стохастическим процессом. В заключение отметим, что для анализа линейных систем полезно иметь вычислительную программу с целью моделирования линейной дифференциальной системы, возбуждаемой белым шумом (см., например, [126]).

Пример 1.34. Дифференциальная система первого порядка, возбуждаемая белым шумом

Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение первого порядка

где — скалярный белый шум интенсивности и. Предположим, что , где скалярная стохастическая величина с нулевым средним и дисперсией Нетрудно установить, что имеет ковариационную функцию

Дисперсия процесса равна