1.11.5. КВАДРАТИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМЫ

Рассмотрим линейную дифференциальную систему

где — белый шум интенсивности и предполагается, что начальное состояние является стохастической величиной с матрицей моментов второго порядка

В последующих главах часто используются квадратичные интегральные формы вида

где — симметрическая неотрицательно определенная весовая матрица для всех — симметрическая неотрицательно определенная матрица. Эти формулы, конечно, применимы также и в детерминированном случае, где — детерминированная величина, а символ математического ожидания не используется.

Для решения линейного дифференциального уравнения (1.546) напишем

так что

Определяя математическое ожидание этого выражения и используя правила интегрирования из теоремы 1.51, получим

Тогда, если M и N — произвольные матрицы соответствующих размеров, нетрудно показать, что Применение этого результата к двум последним членам выражения (1.551) и изменение порядка интегрирования в третьем члене дает

Подстановка этого выражения в (1.551) показывает, что можно написать

где симметрическая матрица определяется выражением

Используя теорему 1.2 (разд. дифференцированием нет рудно показать, что удовлетворяет матричному дифференциальному уравнению

Полагая в получим конечпое условие

Подведем итоги следующим образом.

Теорема .1.54. Рассмотрим линейную дифференциальную систему

— белый шум интенсивности — стохастическая величина с матрицей моментов второго порядка Пусть матрицы -симметрическая неотрицательно определенная при — постоянная симметрическая неотрицательно определенная, Тогда имеем

где — симметрическая неотрицательно определенная матрица

— переходная матрица системы (1.557). P(t) удовлетворяет матричному дифференциальному уравнению

с конечным условием

В частности, если дифференциальная система (1.557) имеет

соответствующий однородной системе, т. e. , а — детерминированная функция, то

Закончим этот раздел обсуждением асимптотического поведения матрицы при стремлении момента времени к бесконечности. Ограничимся рассмотрением случая; когда матрицы А, В, V и R являются постоянными, так что выражение (1.559) принимает вид

Если матрица А асимптотически устойчивая, при найдем предел

Заменяя переменную интегрирования, Р можно записать

откуда следует, что является постоянной матрицей. Поскольку Р удовлетворяет матричному уравнению (1.560), имеем

Поскольку по допущению А асимптотически устойчивая, лемма 1.5 (разд. 1.11.3) гарантирует, что это алгебраическое уравнение имеет единственное решение.

В случае постоянных параметров из (1.558) нетрудно показать, что при можно аппроксимировать

Это показывает, что при критерий (1.558) асимптотически увеличивается со скоростью

Пример 1.38. Смесительный бак

Рассмотрим модель смесительного бака, учитывающую возмущения (см. пример 1.37). Положим, что и представляет интерес определение интегрального выражения

Этот интеграл характеризует среднее отклонение концентрации от нулевого значения, где среднее берется как статистически, так и по времени. Его формула следует из общего вида выражения (1.548), если положить

Решение алгебраического уравнения

дает установившееся решение

где

Если выразить V в виде (1.541), как это делалось в примере 1.37, то можно найти, что скорость, с которой интегральный критерий (1.569) асимптотически увеличивается при возрастании [см. (1.568)], равна

Неудивительно, что это в точности соответствует вычисленному в примере 1.37 установившемуся значению величины