1.2. Описание состояния линейных систем

1.2.1. ОПИСАНИЕ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ И ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ

Многие системымогут быть описаны системой дифференциальных уравнений вида

Здесь t — переменное время, действительный n-мерный переменный во времени вектор-столбец, который обозначает состояние системы, действительный -мерный вектор-столбец, который обозначает входную переменную, или переменную управления. Функция является действительной и векторной. Для многих систем выбор состояния естественно следует из физического устройства системы, а уравнение (1.1), называемое дифференциальным уравнением состояния, обычно непосредственно следует из элементарных физических законов, которым подчиняется система.

Пусть — действительная -мерная переменная системы, которая может быть наблюдаема или с помощью которой система воздействует на окружающую обстановку. Такая переменная называется выходной переменной системы, которая часто может быть представлена следующим образом:

Это уравнение называется уравнением выходной переменной системы.

Система, описываемая уравнениями (1.1) и (1.2), называется конечномерной дифференциальной системой или, короче, дифференциальной системой. Вместе уравнения (1.1) и (1.2) называются уравнениями системы. Если векторная функция определенно содержит и, говорят, что система имеет прямую связь.

В данной книге рассматривается главным образом случай, когда и являются линейными функциями. В этом случае говорят о (конечномерной) линейной дифференциальной системе, уравнение состояния которой имеет вид

где — переменные матрицы соответствующих размерностей. Размерность вектора х есть размерность системы. Уравнение выходной переменной такой системы имеет вид

Если матрицы А, В, С и постоянны, то система называется системой с постоянными параметрами.

1.2.2. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ

В настоящем разделе будет показано, что если — заданная входная переменная системы, описываемой дифференциальным уравнением состояния (1.1), известное решение дифференциального уравнения, то можно найти приближенные решения для небольших отклонений от начального состояния и входной

переменной из нелинейного дифференциального уравнения состояния. Предположим, что удовлетворяет уравнению

Пусть — номинальное значение входлой переменной, а — номинальная траектория. Часто можно предположить, что система функционирует в условиях, близких к номинальным, т. е. и и х мало отличаются от соответственно. Поэтому справедливо представление

где — малые возмущения. Соответственно введем

Подставим теперь х и и в дифференциальное уравнение состояния и применим разложение в ряд Тейлора. Тогда получим

Здесь — матрицы Якоби функция относительно х и и соответственно, т. е. — матрица, элемент которой имеет вид

где - компонента вектора компонента вектора х. Матрица определяется аналогичным образом. Пусть величина по предположению «мала» по сравнению с х и и. Пренебрегая этой величиной, видим, что х и и приближенно удовлетворяют линейному уравнению

где Уравнение (1.10) называется линеаризованным дифференциальным уравнением состояния. Начальным условием уравнения (1.10) является

Указанная процедура линеаризации представляет собой самый обычный метод, применяемый при решении задач управления. Часто удобно линеаризовать дифференциальные уравнения системы перед

представлением их в форме уравнений состояния. Это, естественно, приводит к тем же самым результатам (см. примеры разд. 1.2.3).

Из учебников по дифференциальным уравнениям (см., например, [150]) следует, что аппроксимация , полученная таким способом, может быть сделана с произвольной точностью, при условии что функция обладает частными производными по компонентам векторов х и и относительно номинальных значений интервал конечный, а начальное отклонение и отклонения входной переменной и выбираются достаточно малыми.

В разд. 1.4.4 представлено дальнейшее обоснование широкого использования линеаризации при исследовании процессов управления.

1.2.3. ПРИМЕРЫ

В данном разделе приводится несколько примеров, иллюстрирующих, как уравнения физических явлений превращаются в дифференциальные уравнения состояния и как выполняется процедура линеаризации. Эти примеры обсуждаются довольно подробно, так как в дальнейшем они широко используются для иллюстрации многих положений теории.

Пример 1.1. Система управления положением перевернутого маятника.

Рассмотрим перевернутый маятник, показанный на рис. 1.1 (см. также в связи с этим примером работы [34, 55]). Ось маятника

Рис. 1.1. Система управления положением перевернутого маятника.

монтируется на тележке, которая может перемещаться в горизонтальном направлении. Тележка приводится в движение небольшим мотором, который в момент времени t прикладывает к тележке силу являющуюся входной переменной системы.

На рис. 1.2 представлены силы и перемещения. В момент времени t перемещение оси характеризуется функцией а угловое отклонение маятника — функцией

Рис. 1.2. Перевернутый маятник: силы и перемещения.

Масса маятника обозначена буквой — расстояние между осью и центром тяжести, — момент инерции относительно центра тяжести и М — масса тележки. К. маятнику приложена сила в центре тяжести, а также горизонтальная и вертикальная силы реакции у оси маятника. Здесь — ускорение силы тяжести.

Для системы справедливы следующие уравнения:

Трение учитывается только при движении тележки; в уравнении (1.14) F — коэффициент трения. Трение оси маятника не учитывается. После преобразования дифференциальных уравнений (1.11) и (1.12) имеем

С целью упрощения уравнений предположим, что масса мала по сравнению с М, и поэтому пренебрежем горизонтальной реакцией на движение тележки. Это позволяет заменить (1.18) уравнением

Исключая из уравнений получим

Производя почленное деление на найдем

где

Эта величина называется эффективной длиной маятника, так как движение математического маятника длиной также описывается уравнением (1.21).

Выберем в качестве номинального решение Линеаризацию легко выполнить, разлагая в ряды Тейлора и подставляя в уравнение (1.21) только первые члены рядов. Линеаризация (1.21) приводит к уравнению

В качестве компонент вектора состояния выбираем

Третья компонента состояния представляет собой

линеаризованную аппроксимацию перемещения точки маятника, находящейся на расстоянии от оси. Функцию рассматривают как перемещение маятника. При выбранных обозначениях из (1.19) и (1.23) определим линеаризованное уравнение состояния

которое в векторно-матричных обозначениях имеет вид

где

Ниже параметрам системы присваиваются следующие численные значения:

Пример 1.2. Смесительный бак.

В данном примере исследуется типичная система управления процессом. Рассмотрим смесительный бак, схема которого представлена на рис. 1.3. Бак наполняется с помощью двух потоков, имеющих переменные мгновенные расходы Оба входных потока содержат растворимое вещество с постоянными величинами концентрации и Выходной поток имеет массовую

скорость истечения Предполагается, что содержимое бака перемешивается так, что концентрация выходного потока равна концентрации в баке.

Рис. 1.3. Смесительный бак.

Уравнения баланса масс для бака имеют вид

где — объем жидкости в баке. Мгновенный расход выходного потока зависит от высоты следующим образом:

где k — экспериментальная константа. Если бак имеет постоянную площадь поперечного сечения то можно написать

тогда уравнения баланса масс примут вид

Рассмотрим сначала случай установившегося состояния, когда все величины являются постоянными: — расходы, — объем и — концентрация в баке. Тогда имеют место следующие соотношения:

При заданных эти уравнения могут быть решены относительно Предположим теперь, что возникли небольшие отклонения от установившегося состояйия. Напишем

где рассматриваются как входные переменные, — переменные состояния. В предположении, что указанные четыре параметра являются малыми, линеаризация (1.32) и (1.33) приводит к уравнениям

Подставляя (1.36) в эти уравнения, получим

Введем параметр

называемый временем заполнения бака. Исключение из (1.41) приводит к линеаризованному дифференциальному уравнению состояния

где

Если определить выходные переменные в виде

то можно дополнить уравнение (1.43) линеаризованным уравнением выходной переменной

где Примем следующие численные значения параметров:

В результате линеаризованная система уравнений примет вид

1.2.4. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ

Иногда оказывается полезным использовать преобразованное представление уравнений состояния. В данном разделе кратко рассматриваются линейные преобразования линейных дифференциальных систем с постоянными параметрами. Уравнения системы имеют вид

Определим новую переменную состояния

где Т — постоянная неособая (невырожденная) матрица преобразования. Подставляя , получим

или

Таким образом, получены дифференциальное уравнение состояния и уравнение выходной переменной системы для состояния Очевидно, что новое представление полностью эквивалентно первоначальной системе, так как всегда можно восстановить поведение системы в терминах первоначального состояния с помощью соотношения Выбор состояния до некоторой степени является произвольным, и поэтому может быть произведен с учетом той или иной цели. Многие свойства линейных систем с постоянными параметрами остаются неизменными после преобразования состояния (задачи 1.12.3, 1.12.6, 1.12.7).