1.7.3. ПОДПРОСТРАНСТВО НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ СОСТОЯНИЙ

В этом разделе анализируется структура систем, которые не являются полностью восстанавливаемыми. Если система не является полностью восстанавливаемой, то по выходной переменной невозможно однозначно установить, в каком состоянии система находится. Ясно, что представляет интерес вопрос, какая мера неопределенности остается. Это приводит к следующему определению.

Определение 1.19. Подпространство невосстанавливаемых состояний линейной системы с постоянными параметрами

является линейным подпространством состояний для которых

Следующая теорема характеризует подпространство-невосстанавливаемых состояний.

Теорема 1.33. Подпространство невосстанавливаемых состояний n-мерной линейной системы с постоянными параметрами

является нуль-пространством матрицы восстанавливаемости

Доказательство этой теоремы непосредственно следует из доказательства теоремы 1.32, где показано, что любое начальное состояние, принадлежащее нуль-пространству матрицы порождает выходную переменную, которая идентична рулевой реакции при нулевом входном сигнале. Любое начальное состояние, не принадлежащее нуль-пространству матрицы вырабатывает ненулевую реакцию, показывающую, что нуль-пространство матрицы Q является подпространством невосстанавливаемых состояний. Подпространство невосстанавливаемых состояний обладает следующим Свойством.

Лемма 1.4. Подпространство невосстанавливаемых состояний системы инвариантно отношению к матрице А.

Доказательство этой леммы предоставляем в виде упражнения читателю.

Понятие подпространства невосстанавливаемых состояний можно пояснить следующим результатом.

Теорема 1.34. Рассмотрим систему с постоянными параметрами

Предположим, что выходная и входная переменные известны на интервале Тогда начальное состояние

системы в момент определяется с точностью до произвольного вектора, принадлежащего подпространству невосстанавливаемых состояний. В результате конечное состояние в момент также определяется с точностью до произвольного вектора, принадлежащего подпространству невосстанавливаемых состояний.

Чтобы доказать первую часть теоремы, надо показать, что если два начальных состояния производят одну и ту же самую выходную переменную при любой входной переменной то принадлежит подпространству невосстанавливаемых состояний. Это, очевидно, справедливо, так как вследствие линейности системы условие

эквивалентно условию

откуда следует, что принадлежит подпространству невосстанавливаемых состояний.

Вторая часть теоремы доказывается следующим образом. Результатом добавления произвольного вектора принадлежащего подпространству невосстанавливаемых состояний, к вектору является добавление выражения к конечному состоянию. Поскольку выражение может быть разложено в степенной ряд матрицы А и подпространство невосстанавливаемых состояний инвариантно по отношению к матрице А, то также принадлежит подпространству невосстанавливаемых состояний. Более того, поскольку матрица неособая, это означает, что конечное состояние определяется с точностью до произвольного вектора, принадлежащего подпространству невосстанавливаемых состояний.

Рассмотрим теперь преобразование состояния, которое представляет систему в канонической форме с целью простого выявления свойств восстанавливаемости системы. Предположим, что Q имеет ранг имеет линейно независимых вектор-строк. Это означает, что нуль-пространство , следовательно, подпространство невосстанавливаемых состояний имеют размерность т. Вектор-строки матрицы Q порождают -мерное линейное подпроетранство; положим, что вектор-строки образуют базис этого подпространства. Очевидно, за базис следует принять независимых вектор-строк матрицы Далее пусть являются линейно независимыми вектор-стррками, которые вместе с порождают все -мерное пространство. Составим неособую матрицу преобразования

где

Наконец, введем преобразованную переменную состояния

Подставляя (1.361) в (1.356), получим

или

Представим матрицу в виде

что соответствует какому разбиению при котором имеет столбцов. Имеем

откуда следует

Строки матрицы дополняются линейными комбинациями линейно независимых строк матрицы восстанавливаемости Это означает, что любой вектор х, который удовлетворяет условию также удовлетворяет условию и поэтому, принадлежит подпространству невосстанавливаемых состояний. Поскольку

все вектор-столбцы матрицы должны принадлежать подпространству невосстанавливаемых состояний. как имеет линейно независимых вектор-столбцов и подпространство невосстанавливаемых состояний имеет размерность вектор-столбцы матрицы образуют базис подпространства. Поэтому из (1.367) следует для любого х, принадлежащего подпространству.

При разбиении (1.359) и (1.364) имеем

и

Все вектор-столбцы матрицы принадлежат подпространству невосстанавливаемых состояний; поскольку подпространство инвариантно по отношению к матрице А (лемма 1.4), столбцы матрицы также принадлежат подпространству, и из (1.367) имеем

Поскольку строки матрицы С являются строками матрицы восстанавливаемости а столбцы матрицы принадлежат подпространству невосстанавливаемых состояний и, следовательно, нуль-пространству матрицы получаем

Подведем итоги следующим образом.

Теорема 1.35. Рассмотрим n-мерную линейную систему с постоянными параметрами

Сформируем неособую матрицу преобразования

где строк матрицы образуют базис -мерного подпространства, порожденного строками матрицы восстанавливаемости системы, строк матрицы вместе с строками матрицы образуют базис всего n-мерного пространства. Определим преобразованную переменную состояния как

С использованием преобразованной переменной состояния система представляется в канонической форме восстанавливаемости

Здесь матрица размерами а пара является полностью восстанавливаемой.

При разбиении

где имеет размерность — размерность из теоремы 1.35 следует, что система может быть представлена в виде, показанном на рис. 1.10. Заметим, что никакого суждения о переменной не может быть сделано по наблюдению выходной переменной у.

Рис. 1.10. Каноническая форма восстанавливаемости линейной дифференциальной системы с постоянными параметрами.

То, что пара является полностью восстанавливаемой, вытекает из следующего: если начальное состояние при нулевом входном сигнале производит нулевую реакцию, оно должно иметь вид Полное доказательство читатель может провести сам в качестве упражнения.

В заключение отметим, что каноническая форма восстанавливаемости не является единственной, так как матрицы могут быть выбраны до некоторой степени произвольно. Однако, какое бы преобразование ни выполнялось, можно показать, что характеристические числа матриц и всегда являются теми же самыми, что и в исходной системе. Это приводит к определению характеристических чисел матрицы как полюсов восстанавливаемости, а характеристических чисел матрицы как полюсов невосстанавливаемости системы (1.372). Для простоты положим, что все характеристические числа системы являются различными. Тогда можно доказать, что подпространство невосстанавливаемых состояний системы порождается теми собственными, векторами системы, которые соответствуют полюсам

невосстанавливаемости. Это справедливо как для преобразованного (1.375), так и для исходного (1.372) представления системы. Вполне естественно теперь определить подпространство восстанавливаемых состояний системы (1.372) как подпространство, порожденное собственными векторами системы, соответствующими, полюсам восстанавливаемости.

Пример 1.25. Перевернутый маятник

В примере 1.24 было показано, что перевернутый маятник не является полностью восстанавливаемым, если в качестве наблюдаемой переменной выбран угол Определим теперь подпространство невосстанавливаемых состояний и каноническую форму восстанавливаемости. Нетрудно видеть, что строки матрицы восстанавливаемости определяемой выражением (1.349), порождаются вектор-строками

Любой вектор принадлежащий нуль-пространству должен удовлетворять условиям

Это означает, что подпространство невосстанавливаемых состояний порождается вектором

Любое начальное состояние, пропорциональное этому вектору, является неотличимым от нулевого состояния, как показано в примере 1.23.

Чтобы привести уравнение системы к канонической форме восстанавливаемости, выберем вектор-строки (1.377) в качестве первых трех строк матрицы преобразования Четвертую строку выберем до некоторой степени произвольно:

Найдем матрицу преобразования и соответствующую ей обратную матрицу

Преобразованная система уравнений имеет вид .0,1 0.01 0

Как следует из (1.24), компонентами преобразованного состояния являются

В этом представлении положение и скорость маятника относительно тележки, так же как скорость тележки, могут быть восстановлены по наблюдаемой переменной, но нельзя восстановить положение тележки.

Нетрудно видеть, что полюсами восстанавливаемости являются и . Полюс невосстанавливаемости равен 0.