6.4.2. ОБЕСПЕЧЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ С ПОМОЩЬЮ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ ПО СОСТОЯНИЮ
В разд. 3.2 показано, что непрерывная линейная система может быть стабилизирована с помощью соответствующей обратной связи, если она является полностью управляемой или стабилизируемой. То же справедливо и для дискретных систем.
Теорема 6.26. Пусть уравнение
описывает линейную дискретную систему с постоянными параметрами. Рассмотрим закон управления с постоянной настройкой
Тогда характеристические числа замкнутой системы, т. е. характеристические числа матрицы 
могут быть произвольно размещены в комплексной плоскости (при ограничении, что комплексные характеристические числа образуют комплексно-сопряженные пары) посредством соответствующего выбора 
в том и только том случае, если система (6.216) полностью управляемая. Если система (6.216) стабилизируемая, то можно выбрать так 
что замкнутая система станет устойчивой.
Поскольку доказательствр теоремы всецело опирается на свойства матрицы 
оно по существу идентично доказательству для непрерывных систем.
Особый интерес представляет случай, когда все характеристические числа замкнутой системы находятся в начале координат. Тогда характеристический полином матрицы 
имеет вид
где 
— размерность системы. Поскольку, согласно теореме Кэли—Гамильтона, каждая матрица удовлетворяет своему собственному характеристическому уравнению, имеем
Из теории матриц следует, что эта матрица является нильпотентной с индексом 
. Рассмотрим, какой это имеет смысл. Состояние в момент 
может быть представлено в виде
Отсюда видно, что, если удовлетворяется (6.219), любое начальное состояние 
может бытьприведено к нулевому состоянию в момент 
или ранее, т. е. за 
или меньшее количество шагов [31, 57]. В таком случае говорят, что система обнаруживает
апериодическую реакцию состояния. В разд. 6.4.7 встретятся системы с апериодической реакцией выходной переменной.
Рассмотренное выше показывает, что состояние любой полностью управляемой дискретной системы с постоянными параметрами может быть приведено к нулевому состоянию самое большее за 
шагов, где 
— размерность системы. Однако очень может быть, что закон управления, который позволяет разместить полюса замкнутой системы в начале координат, приводит к чрезвычайно большим амплитудам входной переменной или к нежелательному переходному процессу.
Подведем итог следующим образом.
Теорема 6.27. Пусть разностное уравнение состояния
описывает полностью управляемую n-мерную линейную дискретную систему с постоянными параметрами. Тогда любое начальное состояние может быть приведено к нулевому состоянию самое большее за 
шагов, т. е. для каждого 
существует входная переменная, которая обеспечивает 
Это может быть достигнуто при помощи обратной связи с постоянной настройкой
где 
выбирается таким образом, чтобы все характеристические числа матрицы 
располагались в начале координат.
Пример 6.13. Цифровая системауправления положением
Цифровая система управления положением из примера 6.2 (разд. 6.2.3) описывается разностным уравнением состояния
Эта система имеет характеристический полином вида
Система может быть также представлена в канонической форме фазовой переменной
Преобразованное состояние 
связано с исходным состоянием 
посредством соотношения 
где матрица Т, согласно теореме 1.43 (разд. 1.9), принимает вид
Рис. 6.12. Апериодическая реакция состояния цифровой системы управления положением.
Отсюда непосредственно следует, что в терминах преобразованного состояния закон управления, обеспечивающий апериодический характер состояния, описывается соотношением
В терминах исходного состояния имеем
или
На рис. 6.12 показано изменение состояния апериодической цифровой системы управления положением при начальном условии 
не только в моменты дискретизации, но и в промежуточные интервалы. Эта реакция была получена при моделировании непрерывной системы, которая управлялась кусочно-постоянными входными сигналами в соответствии с дискретным законом управления (6.229). Видно, что система приходит в состояние покоя за время, равное двум периодам дискретности.
