4.4.2. ДУАЛЬНОСТЬ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ И ОПТИМАЛЬНОГО НАБЛЮДЕНИЯ

Результаты этого раздела основаны на следующей теореме.

Теорема 4.8. Рассмотрим задачу оптимального регулирования (ЗОР) в соответствии с определением 3.2 (разд. 3.3.1) инесингулярную задачу оптимального наблюдения (ЗОН) с коррелированными шумом, возбуждающим состояние, и шумом наблюдений по определению 4.3 (разд. 4.3.1). Пусть в задаче наблюдения матрица определяется выражением

где

а различные матрицы в определениях задач ЗОР и ЗОН связаны следующим образом:

при всех . Здесь

При этих условиях решения задачи оптимального регулирования (теорема 3.4, разд. и несингулярной задачи оптимального наблюдения с некоррелированными шумом, возбуждающим состояние, и шумом наблюдений (теорема 4.5, разд. 4.3.2) связаны следующим образом:

а) матрица в задаче ЗОР равна в задаче ЗОН при

б) матрица в задаче ЗОР равна в задаче ЗОН при

в) замкнутый регулятор в задаче ЗОР

и уравнение ошибки восстановления без вынужденной переменной в задаче ЗОН

дуальны относительно в смысле определения 1.23 (разд. 1.8).

Доказательство этой теоремы легко получается, если сравнить уравнение Риккати (3.130) для регулятора с уравнением Риккати (4.106) для наблюдателя и использовать обращение времени (лемма 4.1, разд. 4.3.2).

В разд. 4.4.3 используется дуальность задач построения оптимального регулятора и оптимального наблюдателя для того, чтобы определить установившиеся свойства оптимального наблюдателя из таких же свойств оптимального регулятора. Кроме того, это свойство дуальности позволяет использовать для задач оптимального наблюдения вычислительные программы, разработанные для задач оптимального регулирования, и наоборот, производя подстановки в соответствии с выражением (4.231).