4.3.5. ЗАДАЧА НАБЛЮДЕНИЯ ПРИ ЦВЕТНОМ ШУМЕ

В этом разделе рассматривается случай, когда шум возбуждающий состояние, и шум наблюдений нельзя представить в виде белых шумов. Предположим, что эти процессы можно моделировать следующим образом:

при

Здесь — белые шумы, которые в общем случае могут и не быть некоррелированными. Объединяя выражения (4.180) и (4.181) с дифференциальным уравнением состояния и уравнением для выходной переменной

получим следующее дифференциальное уравнение расширенного состояния и уравнение для выходной переменной:

Чтобы завершить постановку задачи, необходимо задать среднее значение и матрицу дисперсий начального расширенного состояния Во многих случаях белый шум отсутствует, что делает задачу наблюдений несингулярной. Если в задаче параметры являются постоянными, то можно использовать методы разд. 4.3.4. Этот подход разработан в работе [25].

Проиллюстрируем изложенное примерами.

Пример 4.5. Система управления положением при цветном шуме наблюдений

В примере 4.4 была рассмотрена система управления положением, описываемая дифференциальным уравнением состояния

и уравнением для выходной переменной

Шум измерений аппроксимировался белым шумом с интенсивностью Предположим теперь, что лучшей аппроксимацией будет представление шума в виде экспоненциально коррелированного шума (см. пример 1.30, разд. 1.10.2) с функцией спектральной плотности

Это означает, что можно написать (пример 1.36, разд. 1.11.4)

Здесь — скалярный белый шум с интенсивностью . В примере 4.4 предполагалось, что также является белым шумом с интенсивностью . Чтобы не усложнять значительно задачу, остановимся на этом случае. Расширенная задача теперь описывается дифференциальным уравнением состояния и уравнением для выходной переменной

где Эта задача, очевидно, является сингулярной задачей наблюдения, поскольку отсутствует шум наблюдений. Следуя выводам разд. 4.3.4, отметим, что уравнение для выходной переменной уже записано в форме (4.158), где и — нулевые матрицы. Естественно выбрать

так, чтобы

Записывая функцию в виде

из обратной матрицы

получим, что

Так как непосредственно получаем, что переменная удовлетворяет дифференциальному уравнению состояния

Чтобы получить уравнение для выходной переменной, продифференцируем

Используя уравнения (4.184), (4.188) и (4.194), можем написать

Уравнения (4.195) и (4.197) совместно описывают задачу наблюдения для которая является несингулярной и в которой шум, возбуждающий состояние, и шум наблюдений не коррелированы. Оптимальный наблюдатель описывается выражением

где оптимальную матрицу коэффициентов усиления можно вычислить из соответствующего уравнения Риккати. Из выражения (4.194) видно, что оптимальные оценки состояния объекта и шума наблюдений определяются соотношениями

Примем следующие численные значения:

На основании численных значений для а и 9 получаем, что среднеквадратическая величина шума наблюдений составляет

рад, а частота срыва равна рад/с 320 Гц. Определим для этих значений установившуюся оптимальную матрицу коэффициентов усиления в уравнении (4.198):

Матрица дисперсий ошибки восстановления равна

Подстановка вместо в уравнение (4.198) позволяет построить оптимальный установившийся наблюдатель для Реализация такого наблюдателя, для которой не требуется дифференцировать может быть легко выполнена.

Решенная здесь задача отличается от задачи из примера 4.4 предположением, что является цветным, а не белым шумом. Настоящая задача сводится к задаче из примера 4.4, если аппроксимировать белым шумом с интенсивностью эквивалентной спектральной плотности цветного шума на низких частотах, т. е. если принять

Численные значения в настоящем примере и примере 4.4 были выбраны одинаковыми. Теперь можно ответить на вопрос, возникающий в примере 4.4: правомерно ли представление в виде белого шума, имеющего широкую полосу пропускания, и соответствующее построение оптимального наблюдателя? Для ответа на этот вопрос вычислим матрицу, дисперсий ошибки восстановления для настоящей задачи, используя наблюдатель, построенный в примере 4.4. В примере 4.4 ошибка восстановления описывалась дифференциальным уравнением

где полагалось . С помощью выражений (4.187), (4.188) получим следующее дифференциальное уравнение:

где Из теоремы 1.52 (разд. 1.11.2) следует, что матрица дисперсий удовлетворяет матричному дифференциальному уравнению

Численное решение при численных значениях (4.200) и (4.138) дает следующую установившуюся матрицу дисперсий ошибки восстановления

Сравнение с матрицей (4.202) показывает, что среднеквадратические значения ошибок восстановления, которые имеют место при аппроксимации шума в примере 4.4, только незначительно больше, чем при более точном представлении шумав данном примере. Это подтверждает предположение, высказанное в примере 4.4, что для оптимального наблюдателя хорошей аппроксимацией шума наблюдений является белый шум. В связи с этим более корректный фильтр, построенный в предположении, что в действительности является экспоненциально коррелированным шумом, дает весьма небольшое улучшение.