6.2.5. УСТОЙЧИВОСТЬ

В разд. 1.4 для непрерывных систем определены следующие формы устойчивости: устойчивость в смысле Ляпунова, асимптотическая устойчивость, асимптотическая устойчивость в целом и экспоненциальная устойчивость. Все определения для непрерывного случая распространяются на дискретный случай, если переменная непрерывного времени t заменяется переменной дискретного времени . Устойчивость дискретных линейных систем с постоянными параметрами может быть исследована на основании следующих результатов.

Теорема 6.3. Линейная дискретная система с постоянными параметрами

устойчива в смысле Ляпунова тогда и только тогда, когда

а) все характеристические числа матрицы А имеют модуль, не превышающий 1, и

б) любому характеристическому числу с модулем, равным 1, кратности точно соответствует собственных векторов матрицы А.

Доказательство этой теоремы для случая, когда матрица А не имеет кратных характеристических чисел, легко проводится на основании уравнения (6.56).

Теорема 6.4. Линейная дискретная система с постоянными параметрами

асимптотически устойчива в том и только том случае, если все характеристические числа матрицы А по модулю строго меньше 1.

Теорема 6.5 Линейная дискретная система с постоянными параметрами

экспоненциально устойчива в том и только том случае, если она асимптотически устойчива.

Видно, что та роль, которую при анализе Непрерывных систем играет левая половина комплексной плоскости, в случае дискретных систем принадлежит единичному кругу. Аналогичным образом правая полуплоскость заменяется областью, лежащей вне единичного круга, а мнимая ось — единичной окружностью.

Совершенно аналогично случаю непрерывных систем определим подпространство устойчивых состояний линейных дискретных систем.

Определение 6.1. Рассмотрим n-мерную линейную дискретную систему с постоянными параметрами

Предполджим, что матрица А имеет различных характеристических чисел. Определим подпространство устойчивых состояний этой системы как действительное линейное подпространство, порожденное теми собственными векторами матрицы А, которые соответствуют характеристическим числам, по модулю строго меньшим 1. Аналогично подпространством неустойчивых состояний системы является действительное подпространство, порожденное теми собственными векторами матрицы А, которые соответствуют характеристическим числам, по модулю равным или превышающим 1.

Для систем, где характеристические числа матрицы А не являются различными, имеем следующее определение.

Определение 6.2, Рассмотрим n-мерную линейную дискретную систему с постоянными параметрами

Пусть — нуль-пространство матрицы где — характеристическое число матрицы — кратность этого характеристического числа в характеристическом полиноме матрицы А. Определим тогда подпространство устойчивых состояний системы как действительное подпространство прямой суммы тех нуль-пространств которые соответствуют характеристическим числам матрицы А, по модулю меньшим 1. Подобным же образом, подпространство неустойчивых состояний является действительным подпространством прямой суммы тех нуль-пространств которые соответствуют характеристическим числам матрицы А, по модулю большим или равным 1.

Пример 6.5. Цифровая система управления положением

Нетрудно найти, что характеристические числа цифровой системы управления положением из примера 6.2 (разд. 6.2.3) равны 1 и . Отсюда следует, что система является устойчивой в смысле Ляпунова, но не асимптотически устойчивой.