2.5.2. СЛУЧАЙ СКАЛЯРНЫХ ВХОДНОЙ И ВЫХОДНОЙ ПЕРЕМЕННЫХ

В данном разделе предполагается, что входная и и управляемая z переменные, а следовательно, и эталонная переменная являются скалярными. Без потери общности можно принять . В результате установившееся среднее значение квадрата ошибки слежения и установившееся среднее значение квадрата входной переменной логут быть выражены в виде

Из анализа выражения (2.65 а) вытекает, что, поскольку при проектировании следящих систем стремятся к малому установившемуся среднему значению квадрата ошибки слежения, нужно придерживаться следующего принципа.

Принцип проектирования 2.2. Чтобы обеспечить малое установившееся среднее значение квадрата ошибки слежения, передаточную функцию линейной системы управления с постоянными параметрами следует выбирать таким образом, чтобы выражение

принимало малые значения длявсех действительных . В частности, если заданные точки нулевые, то должно быть близким к 1.

Замечание, касающееся можно пояснить следующим образом. В некоторых прикладных задачах весьма важным является точное выдерживание заданной рабочей точки системой управления. В частности, это имеет место в задачах регулирования, где переменная часть эталонной переменной полностью отсутствует. В этом случае может возникнуть необходимость, чтобы в точности равнялось 1.

Рассмотрим теперь составляющие интеграла (2.65 а) по различным частотным диапазонам. Обычно при возрастании величина уменьшается и стремится к нулю. Таким образом, из (2.65 а) следует, что достаточно сделать малым значение

в том диапазоне частот, где принимает большие значения.

Поскольку эти замечания весьма важны, введем понятия полосы частот системы управления и полосы частот эталонной переменной. Полосой частот системы управления, грубо говоря, является диапазон частот, в котором величина близка к 1.

Определение 2.2. Пусть — скалярная передаточная функция асимптотически устойчивой линейной системы управления с постоянными параметрами и скалярными входной и управляемой переменными.

Рис. 2.15. Иллюстрации определения полосы частот, Полосы пропускания и частоты среза одномерной системы управления с постоянными параметрами. Предполагается, что при

Тогда полоса частот системы управления определяется как множество частот для которых

где — заданное число, малое по сравнению с 1. Если полоса частот представляет собой интервал то разность является полосой пропускания системы управления. Если полоса частот представляет собой интервал то называется частотой среза системы.

Рис. 2.15 иллюстрирует понятия полосы частот, полосы пропускания и частоты среза.

В данной книге обычно рассматриваются низкочастотные системы, полоса пропускания которых представляет собой диапазон частот от нуля до частоты среза Точное значение частоты среза, конечно, в значительной степени зависит от числа е. При определим как -ную частоту среза. Подобную терминологию

будем использовать для различных значений . Часто, однако, удобно говорить о частоте срыва системы управления, которую определяют как угловую частоту, при которой асимптотическая логарифмическая частотная характеристика начинает резко отходить от единицы. Так, частота срыва передаточной функции первого порядка

равна а, а частота срыва передаточной функции второго порядка

равна Заметим, однако, что в обоих случаях частота среза значительно меньше, чем частота срыва, которая зависит от (а в случае системы второго порядка — от параметра демпфирования С). В табл. 2.1 приведены частоты среза 1 и 10% для различных случаев.

Таблица 2.1

Соотношение между частотой срыва и частотой среза для скалярных передаточных функций первого и второго порядков

Определим полосу частот эталонной переменной как диапазон частот, в котором значительно отличается от нуля.

Определение 2.3. Пусть — скалярный стационарный в широком смысле стохастический процесс со спектральной плотностью энергии . Полоса частот Q процесса определяется как множество частот для которых

- Здесь а выбирается таким образом, чтобы полоса содержала заданную часть половины энергии процесса, т.е.

Если полоса частот представляет собой интервал то разность определим как полосу пропускания процесса. Если полоса частот представляет собой интервал то представляет собой частоту среза процесса.

Рис. 2.16 иллюстрирует понятия полосы частот, полосы пропускания и частоты среза стохастического процесса.

Обычно будут рассматриваться низкочастотные типы стохастических процессов, у которых полосой частот является интервал вида .

Рис. 2.16. Иллюстрация определения полосы частот, полосы пропускания и частоты среза скалярного стохастического процесса

Точная величина частоты среза, конечно, во многом зависит от величины . Если то говорят об -ной частоте среза; это означает, что в интервале содержится 99% от половины энергии процесса. Подобная терминология используется и для других значений е. Во многих случаях, однако, удобно говорить о частоте ерша процесса, которую определим как угловую частоту, при которой асимптотическая логарифмическая частотная характеристика, соответствующая начинает резко отходить от низкочастотной асимптоты, т. е. от Возьмем в качестве примера экспоненциально коррелированный шум со среднеквадратическим значением и постоянной времени . Этот процесс имеет функцию спектральной плотности энергии

Рис. 2.17. Иллюстрация принципа проектирования

так что его частота срыва равна 1/0. Поскольку эта функция спектральной плотности очень медленно уменьшается с увеличением и -ная частоты среза намного больше, чем ; эти величины равны соответственно.

Рассмотрим вновь интеграл (2.65 а). Используя введенные понятия, заметим, что основная часть этого выражения определяется теми частотами, которые образуют полосу частот эталонной переменной, а не полосу частот системы (рис. 2.17). Переформулируем принцип проектирования 2.2 следующим образом.

Принцип проектирования Для получения малого установившегося среднего значения квадрата ошибки слежения необходимо, чтобы полоса частот системы управления содержала как можно большую часть полосы пропускания переменной части эталонной переменной; Если заданные точки не являются нулевыми, то следует стремиться, чтобы было близким к 1.

Важный аспект этого правила проектирования состоит в том, что оно является также полезным в случае, когда об эталонной переменной ничего не известно, за исключением грубых оценок ее полосы частот.

Рассмотрим теперь второй аспект проектирования — установившееся среднее значение квадрата входной переменной. Рассмотрение выражения (2.656) позволяет сформулировать следующий принцип управления.

Принцип проектирования 2.3. Для получения малого установившегося среднего значения квадрата входной переменной в асимптотически устойчивой линейной системе управления со скалярными входной и выходной переменными и постоянными параметрами необходимо, чтобы выражение

принимало малые значения для всех действительных Этого можно достичь, делая малым в полосе частот эталонной переменной.

Следует заметить, что этот принцип не рекомендует оставлять малым, как это могло бы следовать из рассмотрения первого члена выражения (2.656). Указанный член представляет собой составляющую от постоянной части эталонной переменной, т. е. от заданной рабочей точки, во входной переменной. Заданная точка определяет желаемый уровень управляемой переменной и, следовательно, входной переменной. Можно предположить, что объект спроектирован таким образом, что он способен выдерживать этот уровень. Второй член в выражении (2.656) важен для динамического диапазона входной переменной, т. е. для допускаемых изменений входной переменной относительно заданной точки. Поскольку этот динамический диапазон ограничен, амплитуда второго члена в (2.65 б) должна быть ограничена.

Не представляет особого труда спроектировать систему управления так, чтобы один из принципов проектирования — или 2.3 — полностью удовлетворялся. Однако, поскольку связаны соотношением

звено влияет на и наоборот. Рассмотрим это несколько подробнее и покажем, что принципы 2.2 и 2.3 могут противоречить друг другу. Амплитудно-частотная характеристика объекта обычно уменьшается при частотах, превышающих определенную частоту, скажем Если характеристика остается близкой к 1 за частотой из (2.74) следует, что должно увеличиваться за частотой То что не должно уменьшаться за частотой означает, что полоса частот эталонной переменной распространяется за частоту сор. В результате будет большим в том частотном диапазоне, в котором не является малым, что может означать большой вклад в среднее значение сигнала входной переменной. Если это приводит в результате к перегрузке объекта, то либо должна быть уменьшена полоса пропускания системы за счет возрастания ошибки слежения, либо объект должен быть заменен на более мощный.

Конструктор должен найти технически разумный

компромисс между требованиями малого среднего значения квадрата ошибки слежения и среднего значения квадрата входной переменной, что характеризует динамический диапазон объекта. Этот компромисс должен быть основан на таких показателях системы, как максимально допустимая среднеквадратическая ошибка слежения или максимальная мощность объекта. В последующих главах, рассматривающих задачу синтеза, находится оптимальный компромисс этой дилеммы.

Здесь уместно дать краткое пояснение вычислительных аспектов. В разд. 2.3 обсуждались методы, основанные на временных характеристиках, пригодные для вычисления средйего значения квадрата ошибки слежения и среднего значения квадрата входной переменной. В случае постоянных параметров интегральные выражения (2.65а) и (2.65 б) предлагают другой вычислительный подход. Точные решения интегралов были табулированы для систем низких порядков (см., например, [132, 160]). При вычислениях, однако, обычно предпочитают подход, основанный на операциях во временной области, так как это удобно для расчетов на ЦВМ. Тем не менее выражения в частотной области чрезвычайно важны, поскольку они позволяют формулировать принципы проектирования, которые не могут быть так просто установлены во временной области.

Пример 2.7. Точность системы управления положением

Рассмотрим задачу управления положением из примеров 2.1 (разд. 2.2.2) и 2.4 (разд. 2.3) и предположим, что эталонная переменная представляется в виде экспоненциально коррелированного шума с нулевым средним, среднеквадратическим значением и постоянной времени Используем численные значения

Из (2.72) и численного значения постоянной времени следует, что частота срыва эталонной переменной равна 0,1 рад/с, 10%-ная частота среза соответствует а 1%-ная частота —

Вариант I. Рассмотрим сначала вариант I из примера 2.4, где предложена обратная связь нулевого порядка по положению. Нетрудно найти, что передаточные функции имеют вид

Рис. 2.18. Логарифмический частотные характеристики системы управления положением. Вариант I при различных значениях коэффициента X.

откуда имеем

где

есть частота собственных колебаний в отсутствие демпфирования, а

— параметр демпфирования. На рис. 2.18 показан, график в функции частоты для различных значений коэффициента X. В соответствии с принципом проектирования коэффициент А должен быть не меньше 15 В/рад, поскольку в противном случае частота среза системы управления будет слишком малой по сравнению с 1%-ной частотой среза эталонной переменной, равной 6,4 рад/с. Однако частота среза, видимо, не увеличивается далее с ростом коэффициента из-за наличия пика, который становится все более и более резко выраженным. Значение коэффициента 15 В/рад соответствует случаю, когда параметр демпфирования с приблизительно равен 0,7.

Остается удостовериться, приводит ли это значение к приемлемым значениям среднеквадратической ошибки слежения и среднеквадратического входного напряжения. Вычислим обе величины

Эталонная переменная может быть смоделирована следующим образом:

где — белый шум интенсивности Из (2.19), (2.24) и (2.80) следует объединенное уравнение состояния системы управления и эталонной переменной

Используя это уравнение, нетрудно составить и решить уравнение Ляпунова относительно матрицы установившихся дисперсий Q расширенного состояния (теорема 1.53, разд. 1.11.3). В результате имеем

Выражение для установившегося значения среднего. квадрата ошибки слежения получим в виде

где — элементы матрицы . График установившейся ореднеквадратической ошибки слежения приведен на рис. 2.19. Заметим, что возрастание К выше значений 15—25 В/рад уменьшает среднеквадратическую

Рис. 2.19. Среднеквадратическая ошибка слежения и среднеквадратическое входное напряжение как функции коэффициента к в системе управления положением (вариант I).

ошибку очень незначительно. То, что не уменьшается до нуля при обусловлено пиком в частотной характеристике системы, который при больших А становится все более резко выраженным.

Установившееся среднее значение квадрата входного напряжения определяется выражением

Рис. 2.19 показывает то, что чувствуется интуитивно, а именно среднеквадратическое значение входной переменной возрастает с увеличением коэффициента А. Сравнивая поведение среднеквадратической ошибки слежения и среднеквадратического входного напряжения, убеждаемся в том, что не имеет большого смысла увеличивать коэффициент сверх 15—25 В/рад, так как увеличение среднеквадратического входного напряжения не приводит к какому-либо ощутимому уменьшению среднеквадратической ошибки слежения. Однако рассматриваемый вариант системы не является достаточно хорошим, поскольку среднеквадратическая ошибка слежения достигает значения 0,2 рад, что сравнимо со среднеквадратическим значением эталонной переменной 1 рад.

Вариант 11. Второй вариант, предложенный в примере 2.4, дает лучшие результаты, поскольку в этом случае коэффициент тахометрической обратной связи может быть выбран таким, чтобы замкнутая система была демпфированной в желаемой полосе пропускания, что устраняет влияние резонансного пика. Для данного варианта передаточная функция

сходна с выражением (2.76), за исключением того, что а заменяется на . В результате собственная частота системы равна

а параметр демпфирования имеет вид

Частота срыва системы равна которая посредством выбора достаточно большого А может быть сделана большой. Выбором обеспечивающего значение параметра демпфирования частота среза системы управления может быть сделана соответственно большой. Установившееся среднее значение квадрата ошибки слежения записывается в виде

а установившееся среднее значение квадрата входного напряжения равно

Величина может быть сделана произвольно малой посредством выбора больших значений Для заданного среднеквадратического входного напряжения можно получить меньшую, чем в варианте I, среднеквадратическую ошибку слежения. Задача выбора коэффициентов такими, чтобы получались заданные среднеквадратическое значение входной переменной и минимальная среднеквадратическая ошибка слежения, является задачей математической оптимизации.

В гл. 3 показывается, как может быть решена эта задача. Сейчас ограничимся следующим общим рассуждением. Предположим,

что для каждого значения X коэффициент тахометрической связи выбирается таким, чтобы параметр демпфирования С равнялся

0,7. Далее предположим заданным условие, что установившееся среднеквадратическое входное напряжение не должно превышать 30 В. Тогда методом проб и ошибок, используя формулы (2.88) и (2.89), можно найти, что при

установившаяся среднеквадратическая ошибка слежения равна 0,1031 рад, а установившееся среднеквадратическое входное напряжение равно 30,64 В. Эти значения коэффициентов обеспечивают близкую к минимальной среднеквадратическую ошибку слежения для заданной среднеквадратической входной переменной. Отметим, что этот вариант лучше, чем вариант I, где была получена среднеквадратическая ошибка слежения рад. Однако вариант II не является еще достаточно хорошим, так как среднеквадратическая ошибка слежения 0,1 рад не очень мала по сравнению со среднеквадратическим значением эталонной переменной 1 рад. Положение можно исправить либо использованием более мощного двигателя, либо снижением полосы пропускания эталонной переменной. -ная частота среза рассматриваемой замкнутой системы равна , где — частота срыва системы (табл. 2.1). Эта частота среза значительно меньше 1%-ной частоты среза эталонной переменной, равной

Вариант 111. Третий вариант, предложенный в примере 2.4, занимает промежуточное положение: при он переходит в вариант II, а при — в вариант I. Для заданного значения можно ожидать, что его показатели качества также находятся между показателями указанных двух вариантов, т. е. при заданном среднеквадратическом входном напряжении среднеквадратическая ошибка слежения может быть получена меньше, чем в варианте I, и больше, чем в варианте II.

С точки зрения качества слежения величина Та, конечно, должна быть выбрана как можно меньшей. Однако слишком малое значение будет способствовать неблагоприятному влиянию шума наблюдений. В примере 2.11 (разд. 2.8), который завершает раздел о влиянии шума наблюдений в системе управления, определяется наиболее подходящая величина .