6.2.4. РЕШЕНИЕ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ

Для решения разностных уравнений состояния имеем следующую теорему, аналогичную теоремам 1.1 и 1.3 (разд. 1.3).

Теорема 6.1. Рассмотрим разностное уравнение состояния

Решение этого уравнения может быть представлено в виде

где является матрицей

Переходная матрица, является решением разностного уравнения

Еслц не зависит от то

Предположим, что система имеет выходную переменную

Если начальное состояние равно нулю, т. е. то с помощью (6.42) можно написать

Функцию

назовем матричной импульсной переходной функцией системы. Заметим, что в случае постоянных параметров К зависит только от . Если система имеет прямую связь, т. е. выходная переменная определяется как

то выходная переменная может быть представлена в форме

где

Также для случая дискретных линейных систем с постоянными параметрами отметим, что диагонализация матрицы А иногда является полезной. Подытожим полученные результаты.

Теорема 6.2. Рассмотрим разностное уравнение состояния с постоянными параметрами

Предположим, что матрица А имеет различных характеристических чисел с соответствующими собственными векторами Определим -матрицы:

Тогда переходная матрица разностного уравнения состояния (6.41) может быть записана в виде

Предположим, что обратную матрицу можно, представить в виде

где — векторы-строки. Тогда решение разностного уравнения (6.52) может быть выражено как

где

Выражение (6.56) показывает, что поведение системы может быть описано композицией расходящихся (при установившихся (при ) или сходящихся (при ) движений по собственным векторам матрицы А.